Sparse Graph Counting and Kelley-Meka Bounds for Binary Systems
Notice bibliographique
Résumé
In a recent breakthrough, Kelley and Meka (FOCS 2023) obtained a strong upper bound on the density of sets of integers without non-trivial three-term arithmetic progressions. In this work, we extend their result, establishing similar bounds for all linear patterns defined by binary systems of linear forms, where “binary” indicates that every linear form depends on exactly two variables. Prior to our work, no strong bounds were known for such systems even in the finite field model setting. A key ingredient in our proof is a graph counting lemma. The classical graph counting lemma, developed by Thomason (Random Graphs 1985) and Chung, Graham, and Wilson (Combinatorica 1989), is a fundamental tool in combinatorics. For a fixed graph$H$, it states that the number of copies of$H$in a pseudorandom graph$G$is similar to the number of copies of$H$in a purely random graph with the same edge density as$G$. However, this lemma is only non-trivial when$G$is a dense graph. In this work, we prove a graph counting lemma that is also effective when$G$is sparse. Moreover, our lemma is well-suited for density increment arguments in additive number theory. As an immediate application, we obtain a strong bound for the Turán problem in abelian Cayley sum graphs: let$\Gamma$be a finite abelian group with odd order. If a Cayley sum graph on$\Gamma$does not contain any r-elique as a sub graph, it must have at most$2^{-\Omega_r\left(\log ^{1 / 16}\vert \Gamma\vert \right)} \cdot\vert \Gamma\vert ^2$edges. These results hinge on the technology developed by Kelley and Meka and the follow-up work by Kelley, Lovett, and Meka (STOC 2024).
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,035 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,004 | 0,004 |
| Études des sciences et des technologies | 0,003 | 0,005 |
| Communication savante | 0,004 | 0,012 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,005 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,006 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,010 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».