Sampling, Counting, and Large Deviations for Triangle-Free Graphs Near the Critical Density
Notice bibliographique
Résumé
We study the following combinatorial counting and sampling problems: can we sample from the Erdős-Rényi random graph$G(n,p)$conditioned on triangle-freeness? Can we approximate (either algorithmically or with a formula) the probability that$G(n,p)$is triangle-free? These are prototypical instances of forbidden substructure problems ubiquitous in combinatorics. The algorithmic questions are instances of approximate sampling and counting for a hypergraph hard-core model. Estimating the probability that$G(n,p)$has no triangles is a fundamental question in probabilistic combinatorics and one that has led to the development of many important tools in the field. Through the work of several authors, the asymnpotics of the logarithm of this probability are known if$p=o(n^{-1/2})$or if$p=\omega(n^{-1/2})$. The regime$p=\Theta(n^{-1/2})$is more mysterious, as this range witnesses a dramatic change in the the typical structural properties of$G(n,p)$conditioned on triangle-freeness. As we show, this change in structure has a profound impact on the performance of sampling algorithms. We give two different efficient sampling algorithms for this problem (and complementary approximate counting algorithms), one that is efficient when$p < c/\sqrt{n}$and one that is efficient when$p > C/\sqrt{n}$for constants$c, C > 0$. The latter algorithm involves a new approach for dealing with large defects in the setting of sampling from low-temperature spin models. Our algorithmic results can be used to give an asymptotic formula for the logarithm of the probability$G(n,p)$is triangle-free when$p < c/\sqrt{n}$. This algorithmic approach to large deviation problems in random graphs is very different than the known approaches in the suBCRitical regime$p=o(n^{-1/2})$(based on the Poisson paradigm) and in the supercritical regime$p=\omega(n^{-1/2})$(based on regularity lemmas or hypergraph containers); in fact, to the best of our knowledge, no asymptotic formula for the log probability in the regime$p=\Theta(n^{-1/2})$was even conjectured previously.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,009 | 0,081 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,003 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,005 |
| Communication savante | 0,003 | 0,008 |
| Science ouverte | 0,005 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,004 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».