Sampling, Counting, and Large Deviations for Triangle-Free Graphs Near the Critical Density
Notice bibliographique
Résumé
We study the following combinatorial counting and sampling problems: can we sample from the Erdős-Rényi random graph <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$G(n,p)$</tex> conditioned on triangle-freeness? Can we approximate (either algorithmically or with a formula) the probability that <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$G(n,p)$</tex> is triangle-free? These are prototypical instances of forbidden substructure problems ubiquitous in combinatorics. The algorithmic questions are instances of approximate sampling and counting for a hypergraph hard-core model. Estimating the probability that <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$G(n,p)$</tex> has no triangles is a fundamental question in probabilistic combinatorics and one that has led to the development of many important tools in the field. Through the work of several authors, the asymnpotics of the logarithm of this probability are known if <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$p=o(n^{-1/2})$</tex> or if <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$p=\omega(n^{-1/2})$</tex>. The regime <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$p=\Theta(n^{-1/2})$</tex> is more mysterious, as this range witnesses a dramatic change in the the typical structural properties of <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$G(n,p)$</tex> conditioned on triangle-freeness. As we show, this change in structure has a profound impact on the performance of sampling algorithms. We give two different efficient sampling algorithms for this problem (and complementary approximate counting algorithms), one that is efficient when <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$p < c/\sqrt{n}$</tex> and one that is efficient when <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$p > C/\sqrt{n}$</tex> for constants <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$c, C > 0$</tex>. The latter algorithm involves a new approach for dealing with large defects in the setting of sampling from low-temperature spin models. Our algorithmic results can be used to give an asymptotic formula for the logarithm of the probability <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$G(n,p)$</tex> is triangle-free when <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$p < c/\sqrt{n}$</tex>. This algorithmic approach to large deviation problems in random graphs is very different than the known approaches in the suBCRitical regime <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$p=o(n^{-1/2})$</tex> (based on the Poisson paradigm) and in the supercritical regime <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$p=\omega(n^{-1/2})$</tex> (based on regularity lemmas or hypergraph containers); in fact, to the best of our knowledge, no asymptotic formula for the log probability in the regime <tex xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">$p=\Theta(n^{-1/2})$</tex> was even conjectured previously.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,013 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».