On polar convexity in finite-dimensional Euclidean spaces
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Let $\hat {\mathbb {R}}^n$ be the one-point compactification of $\mathbb {R}^n$ obtained by adding a point at infinity. We say that a subset $A\subseteq \hat {\mathbb {R}}^n$ is $\mathbf {u}$ -convex if for every pair of points $\mathbf {z}_1, \mathbf {z}_2 \in A$ , the arc of the unique circle through $\mathbf {u}, \mathbf {z}_1$ and $\mathbf {z}_2$ , from $\mathbf {z}_1$ to $\mathbf {z}_2$ and not containing $\mathbf {u}$ , is contained in A . In this case, we call $\mathbf {u}$ a pole of A . When the pole $\mathbf {u}$ approaches infinity, $\mathbf {u}$ -convex sets become convex in the classical sense. The notion of polar convexity in the complex plane has been used to analyze the behavior of critical points of polynomials. In this paper, we extend the notion to finite-dimensional Euclidean spaces. The goal of this paper is to start building the theory of polar convexity and to show that the introduction of a pole creates a richer theory. For example, polar convexity enjoys a beautiful duality (see Theorem 4.3) that does not exist in classical convexity. We formulate polar analogues of several classical results of the alternatives, such as Gordan’s and Farkas’ lemmas; see Section 5. Finally, we give a full description of the convex hull of finitely many points with respect to finitely many poles; see Theorem 6.7.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,004 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».