Une supercongruence de Wilson exacte pour les premiers d'Artin-Schreier de F_p[t] (An exact Wilson supercongruence for Artin-Schreier primes in F_p[t])
Notice bibliographique
Résumé
Soit p un nombre premier impair et wp = t^p - t - m (m dans F_p^*) un premierd'Artin-Schreier de F_p[t] ; ce sont exactement les premiers de Wilson de degrep au sens de Thakur. En notant F_p le produit de tous les polynomes non nuls dedegre inferieur a p (de sorte que le theoreme de Wilson en corps de fonctionsdonne F_p == -1 mod wp), on demontre la supercongruence EXACTE F_p == -1 - wp^(p-1) (mod wp^p). Par consequent la congruence de Wilson tient exactement a l'ordre p-1 (et non p),avec terme dominant explicite (F_p + 1)/wp^(p-1) == -1 (mod wp). Thakur (2012,2013, 2015, 2022) etablit seulement la borne inferieure (mod wp^(p-1)) et posel'exactitude de l'ordre et le calcul des multiplicites comme question ouverte(Thakur 2022, Question 7.5(1)) pour p > 2. Le present resultat repond a cettequestion pour la famille canonique des premiers d'Artin-Schreier : il n'y a pasd'amelioration au-dela de wp^(p-1), et l'obstruction est exactement -wp^(p-1).La demonstration repose sur le developpement wp-adique exact des crochets[i] = t^(p^i) - t (a savoir [i] == i*m + wp mod wp^p), l'identite L_(p-1) ==wp^(p-1) - 1 mod wp^p, et une factorisation de F_p comme -(produit des polynomesunitaires de degre < p)^(p-1). Un script Python pur (compatible Pyodide, joint)verifie le theoreme en arithmetique exacte pour p = 3, 5, 7, 11, en calculant enoutre F_p DIRECTEMENT (produit de tous les polynomes non nuls de degre < p) pourp = 3 et p = 5. [EN] Let p be an odd prime and wp = t^p - t - m (m in F_p^*) an Artin-Schreierprime of F_p[t] -- exactly the degree-p Wilson primes of Thakur. With F_p theproduct of all nonzero polynomials of degree < p (so that the function-fieldWilson theorem gives F_p == -1 mod wp), we prove the EXACT supercongruenceF_p == -1 - wp^(p-1) (mod wp^p). Hence the Wilson congruence holds to orderexactly p-1 (not p), with explicit leading term (F_p+1)/wp^(p-1) == -1 (mod wp).Thakur (2012-2022) proves only the lower bound (mod wp^(p-1)) and lists exactnessof the order and the exact multiplicities as an open question for p > 2; thisanswers it for the canonical Artin-Schreier family. An enclosed pure-Python(Pyodide-compatible) script verifies the theorem in exact arithmetic forp = 3, 5, 7, 11, computing F_p directly for p = 3, 5.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,009 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».