Une supercongruence de Wilson exacte pour les premiers d'Artin-Schreier de F_p[t] (An exact Wilson supercongruence for Artin-Schreier primes in F_p[t])
Notice bibliographique
Résumé
Soit p un nombre premier impair et wp = t^p - t - m (m dans F_p^*) un premierd'Artin-Schreier de F_p[t] ; ce sont exactement les premiers de Wilson de degrep au sens de Thakur. En notant F_p le produit de tous les polynomes non nuls dedegre inferieur a p (de sorte que le theoreme de Wilson en corps de fonctionsdonne F_p == -1 mod wp), on demontre la supercongruence EXACTE F_p == -1 - wp^(p-1) (mod wp^p). Par consequent la congruence de Wilson tient exactement a l'ordre p-1 (et non p),avec terme dominant explicite (F_p + 1)/wp^(p-1) == -1 (mod wp). Thakur (2012,2013, 2015, 2022) etablit seulement la borne inferieure (mod wp^(p-1)) et posel'exactitude de l'ordre et le calcul des multiplicites comme question ouverte(Thakur 2022, Question 7.5(1)) pour p > 2. Le present resultat repond a cettequestion pour la famille canonique des premiers d'Artin-Schreier : il n'y a pasd'amelioration au-dela de wp^(p-1), et l'obstruction est exactement -wp^(p-1).La demonstration repose sur le developpement wp-adique exact des crochets[i] = t^(p^i) - t (a savoir [i] == i*m + wp mod wp^p), l'identite L_(p-1) ==wp^(p-1) - 1 mod wp^p, et une factorisation de F_p comme -(produit des polynomesunitaires de degre < p)^(p-1). Un script Python pur (compatible Pyodide, joint)verifie le theoreme en arithmetique exacte pour p = 3, 5, 7, 11, en calculant enoutre F_p DIRECTEMENT (produit de tous les polynomes non nuls de degre < p) pourp = 3 et p = 5. [EN] Let p be an odd prime and wp = t^p - t - m (m in F_p^*) an Artin-Schreierprime of F_p[t] -- exactly the degree-p Wilson primes of Thakur. With F_p theproduct of all nonzero polynomials of degree < p (so that the function-fieldWilson theorem gives F_p == -1 mod wp), we prove the EXACT supercongruenceF_p == -1 - wp^(p-1) (mod wp^p). Hence the Wilson congruence holds to orderexactly p-1 (not p), with explicit leading term (F_p+1)/wp^(p-1) == -1 (mod wp).Thakur (2012-2022) proves only the lower bound (mod wp^(p-1)) and lists exactnessof the order and the exact multiplicities as an open question for p > 2; thisanswers it for the canonical Artin-Schreier family. An enclosed pure-Python(Pyodide-compatible) script verifies the theorem in exact arithmetic forp = 3, 5, 7, 11, computing F_p directly for p = 3, 5.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».