The monopolist's free boundary problem in the plane
Notice bibliographique
Résumé
We study the Monopolist's problem with a focus on the free boundary separating bunched from unbunched consumers, especially in the plane, and give a full description of its solution for the family of square domains $\{(a,a+1)^2\}_{a \ge 0}$. The Monopolist's problem is fundamental in economics, yet widely considered analytically intractable when both consumers and products have more than one degree of heterogeneity. Mathematically, the problem is to minimize a smooth, uniformly convex Lagrangian over the space of nonnegative convex functions. What results is a free boundary problem between the regions of strict and nonstrict convexity. Our work is divided into three parts: a study of the structure of the free boundary problem on convex domains in $\mathbf{R}^n$ showing that the product allocation map remains Lipschitz up to portions of the fixed boundary and that each bunch extends to this boundary; a proof in $\mathbf{R}^2$ that the interior free boundary can only fail to be smooth in one of four specific ways (cusp, high frequency oscillations, stray bunch, nontransversal bunch); and, finally, the first complete solution to Rochet and Choné's example on the family of squares $Ω= (a,a+1)^2$, where we discover bifurcations first to targeted and then to blunt bunching as the distance $a \ge 0$ to the origin is increased. To do this, we extend the localization for measures in convex-order to accommodate potential discontinuities in the product allocation map at the fixed boundary. We also employ techniques from the study of the Monge--Ampère equation and the obstacle problem
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,005 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,007 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».