Notice bibliographique
Résumé
Abstract We consider the relationship between the Mahler measure $M(f)$ of a polynomial f and its separation $\operatorname {sep}(f)$ . Mahler [‘An inequality for the discriminant of a polynomial’, Michigan Math. J. 11 (1964), 257–262] proved that if $f(x) \in \mathbb {Z}[x]$ is separable of degree n , then $\operatorname {sep}(f) \gg _n M(f)^{-(n-1)}$ . This spurred further investigations into the implicit constant involved in that relationship and led to questions about the optimal exponent on $M(f)$ . However, there has been relatively little study concerning upper bounds on $\operatorname {sep}(f)$ in terms of $M(f)$ . We prove that if $f(x) \in \mathbb {C}[x]$ has degree n , then $\operatorname {sep}(f) \ll n^{-1/2}M(f)^{1/(n-1)}$ . Moreover, this bound is sharp up to the implied constant factor. We further investigate the constant factor under various additional assumptions on $f(x)$ ; for example, if it has only real roots.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,006 | 0,045 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,003 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,005 | 0,004 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,007 |
| Communication savante | 0,006 | 0,014 |
| Science ouverte | 0,004 | 0,008 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,010 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,015 | 0,003 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».