Small Mahler measures with bounds on the house and shortness
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We show that for any $\varepsilon>0$ , the number of monic, reciprocal, length- $5$ integer polynomials that have house at least $1+\varepsilon $ is finite. The proof is algorithmic, and we are consequently able to compute a complete list (not imposing any bound on the degree) of small Mahler measures of length- $5$ polynomials that have house at least $1.01$ . For larger lengths, the analogous finiteness statement is false, as we show by examples. For length $6$ we show that if one also imposes an upper bound for the Mahler measure that is strictly below the smallest Pisot number $\theta = 1.32471\cdots $ , and if the length $6$ polynomial is a cyclotomic multiple of an irreducible polynomial, then the number of polynomials with house at least $1+\varepsilon $ is finite. We pursue these ideas to search opportunistically for small Mahler measures represented by longer polynomials. We find one new small measure. We give an algorithm that finds all Salem numbers in an interval $[a,b]$ that are the Mahler measure of an integer polynomial of length at most $6$ , provided $1<a \le b < \theta $ .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».