Crystallization of $$\hbox {C}^*$$-Algebras
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Given a $$\hbox {C}^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mtext>C</mml:mtext> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -algebra A with an almost periodic time evolution $$\sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:math> , we define a new $$\hbox {C}^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mtext>C</mml:mtext> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -algebra $$A_c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , which we call the crystal of $$(A,\sigma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , that represents the zero temperature limit of $$(A, \sigma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We prove that there is a one-to-one correspondence between the ground states of $$(A,\sigma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and the states on $$A_c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , justifying the name. In order to investigate further the relation between low temperature equilibrium states on A and traces on $$A_c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , we define a Fock module $$\mathcal {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> over the crystal and construct a vacuum representation of A on $$\mathcal {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> . This allows us to show, under relatively mild assumptions, that for sufficiently large inverse temperatures $$\beta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:math> the $$\sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:math> - $$\hbox {KMS}_\beta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mtext>KMS</mml:mtext> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -states on A are induced from traces on $$A_c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> by means of the Fock module. In the second part, we compare the K-theoretic structures of A and $$A_c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . Previous work by various authors suggests that they have (rationally) isomorphic K-groups. We analyze this phenomenon in detail, confirming it under favorable conditions, but showing that, in general, there is apparently no easy way to relate these groups. As examples, we discuss in particular Exel’s results on semi-saturated circle actions, and recent results of Miller on the K-theory of inverse semigroup $$\hbox {C}^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mtext>C</mml:mtext> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -algebras. In relation to the latter, we introduce the notion of a scale N on an inverse semigroup I and define a new inverse semigroup $$I_c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , which we call the crystal of ( I , N ).
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».