An efficient asymmetric removal lemma and its limitations
Notice bibliographique
Résumé
Abstract The triangle removal states that if G contains $\varepsilon n^2$ edge-disjoint triangles, then G contains $\delta (\varepsilon )n^3$ triangles. Unfortunately, there are no sensible bounds on the order of growth of $\delta (\varepsilon )$ , and at any rate, it is known that $\delta (\varepsilon )$ is not polynomial in $\varepsilon $ . Csaba recently obtained an asymmetric variant of the triangle removal, stating that if G contains $\varepsilon n^2$ edge-disjoint triangles, then G contains $2^{-\operatorname {\mathrm {poly}}(1/\varepsilon )}\cdot n^5$ copies of $C_5$ . To this end, he devised a new variant of Szemerédi’s regularity lemma. We obtain the following results: • We first give a regularity-free proof of Csaba’s theorem, which improves the number of copies of $C_5$ to the optimal number $\operatorname {\mathrm {poly}}(\varepsilon )\cdot n^5$ . • We say that H is $K_3$ -abundant if every graph containing $\varepsilon n^2$ edge-disjoint triangles has $\operatorname {\mathrm {poly}}(\varepsilon )\cdot n^{\lvert V(H)\rvert }$ copies of H. It is easy to see that a $K_3$ -abundant graph must be triangle-free and tripartite. Given our first result, it is natural to ask if all triangle-free tripartite graphs are $K_3$ -abundant. Our second result is that assuming a well-known conjecture of Ruzsa in additive number theory, the answer to this question is negative. Our proofs use a mix of combinatorial, number-theoretic, probabilistic and Ramsey-type arguments.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,023 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,003 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,003 | 0,006 |
| Communication savante | 0,004 | 0,015 |
| Science ouverte | 0,006 | 0,011 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,009 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,016 | 0,007 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».