On 1-planar graphs with bounded cop-number
Notice bibliographique
Résumé
Cops and Robbers is a type of pursuit-evasion game played on a graph where a set of cops try to capture a single robber. The cops first choose their initial vertex positions, and later the robber chooses a vertex. The cops and robbers make their moves in alternate turns: in the cops' turn, every cop can either choose to move to an adjacent vertex or stay on the same vertex, and likewise the robber in his turn. If the cops can capture the robber in a finite number of rounds, the cops win, otherwise the robber wins. The cop-number of a graph is the minimum number of cops required to catch a robber in the graph. It has long been known that graphs embedded on surfaces (such as planar graphs and toroidal graphs) have a small cop-number. Recently, Durocher et al. [Graph Drawing, 2023] investigated the problem of cop-number for the class of 1-planar graphs, which are graphs that can be embedded in the plane such that each edge is crossed at most once. They showed that unlike planar graphs which require just three cops, 1-planar graphs have an unbounded cop-number. On the positive side, they showed that maximal 1-planar graphs require only three cops by crucially using the fact that the endpoints of every crossing in an embedded maximal 1-planar graph induce a K 4 . In this paper, we show that the cop-number remains bounded even under the relaxed condition that the endpoints induce at least three edges. More precisely, let an ×-crossing of an embedded 1-planar graph be a crossing whose endpoints induce a matching; i.e., there is no edge connecting the endpoints apart from the crossing edges themselves. We show that any 1-planar graph that can be embedded without ×-crossings has cop-number at most 21. Moreover, any 1-planar graph that can be embedded with at most γ ×-crossings has cop-number at most γ + 21 .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,004 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,006 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,004 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».