Major symmetry of the induced tangent stiffness tensor for the Zaremba–Jaumann rate and Kirchhoff stress in hyperelasticity: Two different approaches
Notice bibliographique
Résumé
We recall in this note that the induced tangent stiffness tensor H τ ZJ ( τ ) appearing in a hypoelastic formulation based on the Zaremba–Jaumann corotational derivative and the rate constitutive equation for the Kirchhoff stress tensor τ is minor and major symmetric if the Kirchhoff stress τ is derived from an elastic potential W ( F ) . This result is vaguely known in the literature. Here, we expose two different notational approaches which highlight the full symmetry of the tangent stiffness tensor H τ ZJ ( τ ) . The first approach is based on the direct use of the definition of each symmetry (minor and major), i.e., via contractions of the tensor with the deformation rate tensor D . The second approach aims at finding an absolute expression of the tensor H τ ZJ ( τ ) , by means of special tensor products and their symmetrisations. In some past works, the major symmetry of H τ ZJ ( τ ) has been missed because not all necessary symmetrisations were applied. The analogous tangent stiffness tensor H ZJ ( σ ) , relating the Cauchy stress tensor σ to the Zaremba–Jaumann corotational derivative is also obtained, with both methods used for H τ ZJ ( τ ) . The approach is exemplified for the isotropic Hencky energy. Corresponding stability checks of software packages are shortly discussed.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,004 |
| Communication savante | 0,003 | 0,005 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,011 | 0,003 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».