Deep operator network approximation rates for Lipschitz operators
Notice bibliographique
Résumé
We establish a framework for universality and expression rate bounds for a class of neural Deep Operator Networks (DONs) emulating Lipschitz (or Hölder) continuous maps [Formula: see text] between (subsets of) separable Hilbert spaces [Formula: see text], [Formula: see text]. The DON architecture considered uses linear encoders [Formula: see text] and decoders [Formula: see text] via (biorthogonal) Riesz bases of [Formula: see text], [Formula: see text], and an approximator network of an infinite-dimensional, parametric coordinate map that is Lipschitz continuous on the sequence space [Formula: see text]. Unlike previous works [L. Herrmann, C. Schwab and J. Zech, Neural and spectral operator surrogates: Construction and expression rate bounds, Adv. Comput. Math. 50(4) (2024) 72; C. Marcati and C. Schwab, Exponential convergence of deep operator networks for elliptic partial differential equations, SIAM J. Numer. Anal. 61(3) (2023) 1513–1545] which required for example [Formula: see text] to be holomorphic, the present expression rate results require mere Lipschitz (or Hölder) continuity of [Formula: see text]. Key in the proof of the present expression rate bounds is the use of either superexpressive activations (e.g., [Z. Shen, H. Yang and S. Zhang, Neural network approximation: Three hidden layers are enough, Neural Netw. 141 (2021) 160–173; Z. Shen, H. Yang and S. Zhang, Deep network approximation: Achieving arbitrary accuracy with fixed number of neurons, J. Mach. Learn. Res. 23(276) (2022) 1–60; D. Yarotsky, Elementary superexpressive activations, in Proc. 38th Int. Conf. Machine Learning (PMLR, 2021), pp. 11932–11940] and the references there) which are inspired by the Kolmogorov superposition theorem ([A. N. Kolmogorov, On the representation of continuous functions of many variables by superposition of continuous functions of one variable and addition, Dokl. Akad. Nauk SSSR 114 (1957) 953–956] or [G. G. Lorentz, Approximation of Functions (Holt, Rinehart and Winston, New York–Chicago, IL–Toronto, ON, 1966), Chap. 11] for a comprehensive exposition), or of nonstandard NN architectures with standard (ReLU) activations as recently proposed in [Z. Shen, H. Yang and S. Zhang, Deep network approximation: Achieving arbitrary accuracy with fixed number of neurons, J. Mach. Learn. Res. 23(276) (2022) 1–60; S. Zhang, Z. Shen and H. Yang, Neural network architecture beyond width and depth, in Advances in Neural Information Processing Systems, Vol. 35 (Curran Associates, 2022), pp. 5669–5681]. We illustrate the abstract results by approximation rate bounds for emulation of (a) solution operators for parametric elliptic variational inequalities and (b) Lipschitz maps of Hilbert–Schmidt operators.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,008 | 0,036 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,004 |
| Communication savante | 0,003 | 0,009 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,006 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,007 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».