A Combinatorial Proof of a Symmetry for a Refinement of the Narayana Numbers
Notice bibliographique
Résumé
We establish a tantalizing symmetry of certain numbers refining the Narayana numbers. In terms of Dyck paths, this symmetry is interpreted in the following way: if $w_{n,k,m}$ is the number of Dyck paths of semilength $n$ with $k$ occurrences of $UD$ and $m$ occurrences of $UUD$, then $w_{2k+1,k,m}=w_{2k+1,k,k+1-m}$. We give a combinatorial proof of this fact, relying on the cycle lemma, and showing that the numbers $w_{2k+1,k,m}$ are multiples of the Narayana numbers. We prove a more general fact establishing a relationship between the numbers $w_{n,k,m}$ and a family of generalized Narayana numbers due to Callan. A closed-form expression for the even more general numbers $w_{n,k_{1},k_{2},\ldots, k_{r}}$ counting the semilength-$n$ Dyck paths with $k_{1}$ $UD$-factors, $k_{2}$ $UUD$-factors, $\ldots$, and $k_{r}$ $U^{r}D$-factors is also obtained, as well as a more general form of the discussed symmetry for these numbers in the case when all rise runs are of certain minimal length. Finally, we investigate properties of the polynomials $W_{n,k}(t)= \sum_{m=0}^k w_{n,k,m} t^m$, including real-rootedness, $\gamma$-positivity, and a symmetric decomposition.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».