The Tri-Quarter Framework: Unifying Complex Coordinates with Topological and Reflective Duality across Circles of Any Radius
Notice bibliographique
Résumé
In this paper, we introduce the Tri-Quarter Topological Duality Theorem, the foundation of a novel mathematical framework that unifies complex, Cartesian, and polar coordinate systems on the complex plane ℂ while equipping the circle T r of radius r > 0 with a new topological property. Our framework integrates a generalized coordinate system-where real and imaginary components are assigned unique phase pairs-with a structured orientation that elevates T r to an active separator with intrinsic directional properties. We prove that T r , as the boundary zone, exhibits topological duality with the inner zone X −,r ( ||x|| < r ) and outer zone X +,r ( ||x|| > r ), ensuring consistent separation between inner and outer radial directions across T r with a phase pair map encoding additional information. We also introduce the Escher Tri-Quarter Reflective Duality Theorem, proving reflective duality across T r via a circle inversion map that preserves phase pairs while swapping X −,r and X +,r . This approach offers insights into topological separation, orientation, and reflection, facilitating analysis of systems with circular symmetry, with potential applications in fields such as black hole physics, signal processing, and other areas reliant on complex domain partitioning. A case study on quadrant-based transformations demonstrates streamlined directional mappings, geometric elegance, unified classification, and computational efficiency in ℂ . For instance, in the case study, the Tri-Quarter approach consistently reduces the number of comparison conditional checks from a maximum of 7 in the standard method to a maximum of 4, significantly enhancing computational efficiency. A software tool visualizes some of these concepts, with future work aimed at exploring practical implementations.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,004 |
| Communication savante | 0,003 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».