On the number of Hamiltonian cycles in the generalized Petersen graph
Notice bibliographique
Résumé
The generalized Petersen graph <span class="math inline">\(G(n,k)\)</span> is a cubic graph with vertex set <span class="math inline">\(V(G(n,k))=\{v_i\}_{0 \leq i < n} \cup \{w_i\}_{0 \leq i < n}\)</span> and edge set <span class="math inline">\(E(G(n,k))=\{v_i v_{i+1}\}_{0 \leq i < n} \cup \{w_i w_{i+k}\}_{0 \leq i < n} \cup \{v_i w_i\}_{0 \leq i < n}\)</span> where the indices are taken modulo <span class="math inline">\(n\)</span>. Schwenk found the number of Hamiltonian cycles in <span class="math inline">\(G(n,2)\)</span>, and in this article we present initial conditions and linear recurrence relations for the number of Hamiltonian cycles in <span class="math inline">\(G(n,3)\)</span> and <span class="math inline">\(G(n,4)\)</span>. This is attained by introducing <span class="math inline">\(G'(n,k)\)</span>, which is a modified version of <span class="math inline">\(G(n,k)\)</span>, and a subset of its subgraphs which we call admissible, and which are partitioned into different classes in such a manner that we can find relations between the number of admissible subgraphs of each class. The classes and their relations define a directed graph such that each strongly connected component is of a manageable size for <span class="math inline">\(k=3\)</span> and <span class="math inline">\(k=4\)</span>, which allows us to find linear recurrence relations for the number of admissible subgraphs in each class in these cases. The number of Hamiltonian cycles in <span class="math inline">\(G(n,k)\)</span> is a sum of the number of admissible subgraphs of <span class="math inline">\(G'(n,k)\)</span> over a certain subset of the classes.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».