Pseudopowers and primality proving
Notice bibliographique
Résumé
It has been known since the 1930s that so-called pseudosquares yield a very powerful machinery for the primality testing of large integers N. In fact, assuming reasonable heuristics (which have been confirmed for numbers to 2^80) this gives a deterministic primality test in time O((lg N)^(3+o(1))), which many believe to be best possible. In the 1980s D.H. Lehmer posed a question tantamount to whether this could be extended to pseudo r-th powers. Very recently, this was accomplished for r=3. In fact, the results obtained indicate that r=3 might lead to an even more powerful algorithm than r=2. This naturally leads to the challenge if and how anything can be achieved for r>3. The extension from r = 2 to r = 3 relied on properties of the arithmetic of the Eisenstein ring of integers Z[\zeta_3], including the Law of Cubic Reciprocity. In this paper we present a generalization of our result for any odd prime r. The generalization is obtained by studying the properties of Gaussian and Jacobi sums in cyclotomic ring of integers, which are tools from which the r-th power Eisenstein Reciprocity Law is derived, rather than from the law itself. While r=3 seems to lead to a more efficient algorithm than r=2, we show that extending to any r>3 does not appear to lead to any further improvements.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,018 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,006 |
| Communication savante | 0,003 | 0,009 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,005 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,004 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,009 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».