q-Whittaker functions, finite fields, and Jordan forms
Notice bibliographique
Résumé
Abstract The q-Whittaker function $$W_\lambda (\textbf{x};q)$$ W λ ( x ; q ) associated to a partition $$\lambda $$ λ is a q-analogue of the Schur function $$s_\lambda (\textbf{x})$$ s λ ( x ) , and is defined as the $$t=0$$ t = 0 specialization of the Macdonald polynomial $$P_\lambda (\textbf{x};q,t)$$ P λ ( x ; q , t ) . We show combinatorially how to expand $$W_\lambda (\textbf{x};q)$$ W λ ( x ; q ) in terms of partial flags compatible with a nilpotent endomorphism over the finite field of size 1/q. This yields an expression analogous to a well-known formula for the Hall–Littlewood functions. We show that considering pairs of partial flags and taking Jordan forms leads to a probabilistic bijection between nonnegative-integer matrices and pairs of semistandard tableaux of the same shape, proving the Cauchy identity for q-Whittaker functions. We call our probabilistic bijection the q-Burge correspondence, and prove that in the limit as $$q\rightarrow 0$$ q → 0 , we recover a description of the classical Burge correspondence (also known as column RSK) due to Rosso (2012). A key step in the proof is the enumeration of an arbitrary double coset of $$\text {GL}_n$$ GL n modulo two parabolic subgroups, which we find to be of independent interest. As an application, we use the q-Burge correspondence to count isomorphism classes of certain modules over the preprojective algebra of a type A quiver (i.e. a path), refined according to their socle filtrations. This develops a connection between the combinatorics of symmetric functions and the representation theory of preprojective algebras.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,005 |
| Communication savante | 0,003 | 0,005 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,019 | 0,004 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».