The distribution of polynomials over finite fields, with applications to the Gowers norms
Notice bibliographique
Résumé
In this paper we investigate the uniform distribution properties of polynomials in many variables and bounded degree over a fixed finite field F of prime order. Our main result is that a polynomial P : F^n -> F is poorly-distributed only if P is determined by the values of a few polynomials of lower degree, in which case we say that P has small rank. We give several applications of this result, paying particular attention to consequences for the theory of the so-called Gowers norms. We establish an inverse result for the Gowers U^{d+1}-norm of functions of the form f(x)= e_F(P(x)), where P : F^n -> F is a polynomial of degree less than F, showing that this norm can only be large if f correlates with e_F(Q(x)) for some polynomial Q : F^n -> F of degree at most d. The requirement deg(P) < |F| cannot be dropped entirely. Indeed, we show the above claim fails in characteristic 2 when d = 3 and deg(P)=4, showing that the quartic symmetric polynomial S_4 in F_2^n has large Gowers U^4-norm but does not correlate strongly with any cubic polynomial. This shows that the theory of Gowers norms in low characteristic is not as simple as previously supposed. This counterexample has also been discovered independently by Lovett, Meshulam, and Samorodnitsky. We conclude with sundry other applications of our main result, including a recurrence result and a certain type of nullstellensatz.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,004 | 0,022 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,006 |
| Communication savante | 0,002 | 0,006 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».