Operator realizations of non-commutative analytic functions
Notice bibliographique
Résumé
Abstract A realization is a triple, $(A,b,c)$ , consisting of a $d-$ tuple, $A= (A_1, \cdots , A_d )$ , $d\in \mathbb {N}$ , of bounded linear operators on a separable, complex Hilbert space, $\mathcal {H}$ , and vectors $b,c \in \mathcal {H}$ . Any such realization defines an analytic non-commutative (NC) function in an open neighbourhood of the origin, $0:= (0, \cdots , 0)$ , of the NC universe of $d-$ tuples of square matrices of any fixed size. For example, a univariate realization, i.e., where A is a single bounded linear operator, defines a holomorphic function of a single complex variable, z , in an open neighbourhood of the origin via the realization formula $b^{*} (I-zA)^{-1} c$ . It is well known that an NC function has a finite-dimensional realization if and only if it is a non-commutative rational function that is defined at $0$ . Such finite realizations contain valuable information about the NC rational functions they generate. By extending to infinite-dimensional realizations, we construct, study and characterize more general classes of analytic NC functions. In particular, we show that an NC function is (uniformly) entire if and only if it has a jointly compact and quasinilpotent realization. Restricting our results to one variable shows that a formal Taylor series extends globally to an entire or meromorphic function in the complex plane, $\mathbb {C}$ , if and only if it has a realization whose component operator is compact and quasinilpotent, or compact, respectively. This motivates our definition of the field of global (uniformly) meromorphic NC functions as the field of fractions generated by NC rational expressions in the ring of NC functions with jointly compact realizations. This definition recovers the field of meromorphic functions in $\mathbb {C}$ when restricted to one variable.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».