The arrest and recession dynamics of a deflating rectangular hydraulic fracture in a permeable elastic medium
Notice bibliographique
Résumé
This paper considers the propagation, arrest and recession of a planar hydraulic fracture in a porous elastic medium whose footprint is constrained to a growing or shrinking rectangular region with a constant height. Hydraulic fractures with large aspect ratio rectangular footprints are frequently referred to as PKN fractures in recognition of the original researchers (Perkins & Kern 1961 J. Petrol. Tech.13, 937–949) and (Nordgren 1972 J. Petrol Technol.1972, 306–314) who first analyzed models of such fracture geometries. We investigate the one-dimensional non-local PKN approximation to a fully planar rectangular hydraulic fracture model in a three-dimensional elastic medium. By analysing the tip behaviour of the non-local PKN model, a transformation procedure is established to render the asymptotic equations for the dynamics of the steady semi-infinite PKN and plane strain models formally identical, which implies that all the existing multiscale plane strain asymptotes can be converted directly to the PKN case by making use of this transformation. Using this transformation, it is shown that the appropriate PKN asymptotes for the average aperture $\bar {w}$ with distance $\hat {x}$ to the fracture front are $\bar {w}\sim \hat {x}^{1/2},\ \hat {x}^{5/8}\ {\textrm{and}}\, \ \hat {x}^{2/3}$ in the toughness, leak-off and viscous modes of propagation, respectively; as well as the linear elastic fracture mechanics tip asymptote $\bar {w}\sim \hat {x}^{1/2}$ for arrest, which transitions to the linear asymptote tip $\bar {w}\sim \hat {x}$ for a fracture driven to recede due to fluid leak-off. Both the arrest and recession tip asymptotes share the intermediate leak-off asymptote $\bar {w}\sim \hat {x}^{3/4}$ . A scaling analysis yields the arrest time, length and aperture as functions of a dimensionless injection-cessation time $\omega$ . An asymptotic analysis of the non-local PKN model is used to establish the fundamental decoupling between dynamics and kinematics, which leads to the emergence of a similarity solution – termed the sunset solution – close to the time of collapse of the fracture. The multiscale PKN numerical solutions agree well with those for a fully planar multiscale rectangular hydraulic fracture model in a three-dimensional elastic medium. The scaling laws and the emergence of the sunset solution are confirmed by the PKN numerical model. The sunset solution also emerges in the fully planar numerical model and persists beyond the collapse time of the PKN model, by which time its footprints have separated from the upper and lower constraining sedimentary layer boundaries and have assumed self-similar elliptic shapes that shrink as they approach collapse.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».