On Arratia’s coupling and the Dirichlet law for the factors of a random integer
Notice bibliographique
Résumé
Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> be an integer chosen uniformly at random from the set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , and let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>...</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a Poisson–Dirichlet process of parameter <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> . We prove that there exists a coupling of these two random objects such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>𝔼</mml:mi> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≍</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where the implied constants are absolute and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⋯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the unique factorization of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> into primes or ones with the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> ’s being non-increasing. This establishes a 2002 conjecture of Arratia, who constructed a coupling for which the left-hand side in the above estimate is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and who also proved that the left-hand side is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for all couplings. In addition, we use our refined coupling to give a probabilistic proof of the Dirichlet law for the average distribution of the integer factorization into <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> parts proved in 2023 by Leung and we improve on its error term.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,006 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».