The Fagnano Triangle Patrolling Problem
Notice bibliographique
Résumé
We investigate a combinatorial optimization problem that involves patrolling the edges of an acute triangle using a unit-speed agent. The goal is to minimize the maximum (1-gap) idle time of any edge, which is defined as the time gap between consecutive visits to that edge. This problem has roots in a centuries-old optimization problem posed by Fagnano in 1775, who sought to determine the inscribed triangle of an acute triangle with the minimum perimeter. It is well-known that the orthic triangle, giving rise to a periodic and cyclic trajectory obeying the laws of geometric optics, is the optimal solution to Fagnano's problem. Such trajectories are known as Fagnano orbits, or more generally as billiard trajectories. We demonstrate that the orthic triangle is also an optimal solution to the patrolling problem. Our main contributions pertain to new connections between billiard trajectories and optimal patrolling schedules in combinatorial optimization. In particular, as an artifact of our arguments, we introduce a novel 2-gap patrolling problem that seeks to minimize the visitation time of objects every three visits. We prove that there exist infinitely many well-structured billiard-type optimal trajectories for this problem, including the orthic trajectory, which has the special property of minimizing the visitation time gap between any two consecutively visited edges. Complementary to that, we also examine the cost of dynamic, sub-optimal trajectories to the 1-gap patrolling optimization problem. These trajectories result from a greedy algorithm and can be implemented by a computationally primitive mobile agent.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».