Graphs of Bounded Chordality
Notice bibliographique
Résumé
A hole in a graph is an induced subgraph which is a cycle of length at least four. A graph is chordal if it contains no holes. Following McKee and Scheinerman (1993), we define the chordality of a graph $G$ to be the minimum number of chordal graphs on $V(G)$ such that the intersection of their edge sets is equal to $E(G)$. In this paper we study classes of graphs of bounded chordality.In the 1970s, Buneman, Gavril, and Walter, proved independently that chordal graphs are exactly the intersection graphs of subtrees in trees. We generalize this result by proving that the graphs of chordality at most $k$ are exactly the intersection graphs of convex subgraphs of median graphs of tree-dimension$k$.A hereditary class of graphs $\mathcal{A}$ is $\chi$-bounded if there exists a function $ f\colon \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ such that for every graph $G\in \mathcal{A}$, we have $\chi(G) \leq f(\omega(G))$. In 1960, Asplund and Grünbaum proved that the class of all graphs of boxicity at most two is $\chi$-bounded. In his seminal paper "Problems from the world surrounding perfect graphs," Gyárfás (1985), motivated by the above result, asked whether the class of all graphs of chordality at most two, which we denote by $\mathcal{C}\,{\mathop{\cap}\limits_{\raise.2ex\hbox{$\scriptstyle\bullet$}}}\,\mathcal{C}$, is $\chi$-bounded. We discuss a result of Felsner, Joret, Micek, Trotter and Wiechert (2017), concerning tree-decompositions of Burling graphs, which implies an answer to Gyárfás' question in the negative. We prove that two natural families of subclasses of $\mathcal{C}\,{\mathop{\cap}\limits_{\bullet}}\,\mathcal{C}$ are polynomially $\chi$-bounded.Finally, we prove that for every $k\geq 3$ the $k$-Chordality Problem, which asks to decide whether a graph has chordality at most $k$, is NP-complete.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».