Enumeration and asymptotic analysis of edge-disjoint triangle packings in complete graphs
Notice bibliographique
Résumé
We investigate the combinatorial structure of edge-disjoint triangle packings in the complete graph \(K_n\). Two triangles are said to be edge-disjoint if they share no common edges, though they may share at most one vertex. For a given \(n\), let \(T_n\) denote the total number of subsets of triangles in \(K_n\) that are pairwise edge-disjoint, including the empty set, and let \(T_n^k\) denote the number of \(k\)-element sets of such triangles. In this article, we establish: (i) a general recurrence relation for \(T_n\) that enables asymptotic analysis, yielding the growth \(\log T_n = \Theta(n^2 \log n)\) for large \(n\); (ii) exact closed-form formulas for the number of edge-disjoint pairs (\(T_n^2\)), triples (\(T_n^3\)), and quadruples (\(T_n^4\)) of triangles in \(K_n\) for \(n \geq 6\). These results extend classical work on Steiner Triple Systems and provide new tools for analyzing triangle packings in complete graphs.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,028 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,007 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».