Enumeration and asymptotic analysis of edge-disjoint triangle packings in complete graphs
Notice bibliographique
Résumé
<p>We investigate the combinatorial structure of edge-disjoint triangle packings in the complete graph <span class="math inline">\(K_n\)</span>. Two triangles are said to be edge-disjoint if they share no common edges, though they may share at most one vertex. For a given <span class="math inline">\(n\)</span>, let <span class="math inline">\(T_n\)</span> denote the total number of subsets of triangles in <span class="math inline">\(K_n\)</span> that are pairwise edge-disjoint, including the empty set, and let <span class="math inline">\(T_n^k\)</span> denote the number of <span class="math inline">\(k\)</span>-element sets of such triangles. In this article, we establish: (i) a general recurrence relation for <span class="math inline">\(T_n\)</span> that enables asymptotic analysis, yielding the growth <span class="math inline">\(\log T_n = \Theta(n^2 \log n)\)</span> for large <span class="math inline">\(n\)</span>; (ii) exact closed-form formulas for the number of edge-disjoint pairs (<span class="math inline">\(T_n^2\)</span>), triples (<span class="math inline">\(T_n^3\)</span>), and quadruples (<span class="math inline">\(T_n^4\)</span>) of triangles in <span class="math inline">\(K_n\)</span> for <span class="math inline">\(n \geq 6\)</span>. These results extend classical work on Steiner Triple Systems and provide new tools for analyzing triangle packings in complete graphs.</p>
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,006 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,004 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».