Applications via series accelerations of new identities involving Catalan-type numbers
Notice bibliographique
Résumé
We introduce infinite families of terminating hypergeometric identities involving generalizations of Catalan numbers, generalizing results introduced by Chu and K\i l\i\c{c}, and we apply Wilf—Zeilberger (WZ) pairs associated with our new identities via a series acceleration method. We apply a WZ pair introduced in our article to prove an identity for accelerating the convergence for a family of ${}_{3}F_{2}(1)$-series with three real parameters from $1$ to $\frac{1}{4}$, and we apply this identity to generalize Ramanujan-like series for $\frac{1}{\pi}$, $\frac{\sqrt{2}}{\pi}$, $\frac{\sqrt{3}}{\pi}$, and $ \frac{\sqrt{2 \pm \sqrt{2}}}{\pi } $ that are due to Chu et al. A fast-converging series for $\pi^2$ due to Guillera is also a special case of our acceleration identity. We also apply another WZ pair introduced in this article to prove an identity for accelerating the convergence of a ${}_{3}F_{2}(1)$-family with three real parameters from $1$ to $\frac{1}{16}$, and we apply this result, via a series bisection, to formulate a new WZ proof of Ramanujan's series for $\frac{1}{\pi}$ of convergence rate $\frac{1}{4}$. A number of our finite sums involving Catalan-type numbers are such that up-to-date versions of the Maple Computer Algebra System cannot compute WZ pairs for such sums, which is representative of the computationally challenging nature of our results.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».