A division algorithm for the Gaussian integers’ minimal Euclidean function
Notice bibliographique
Résumé
Abstract The usual division algorithms on double struck upper Z ${\mathbb {Z}}$ Z and double struck upper Z i ${\mathbb {Z}}[i]$ Z i measure the size of remainders using the algebraic norm. These rings are Euclidean with respect to several functions. The pointwise minimum of all Euclidean functions f colon upper R divided by StartSet 0 EndSet right arrow double struck upper N $f: R \setminus \{0\} \rightarrow {\mathbb {N}}$ f : R ⧵ { 0 } → N on a Euclidean domain R is itself a Euclidean function, called the minimal Euclidean function and denoted by phi Subscript upper R $\phi _R$ ϕ R . To the author’s knowledge, the integers, double struck upper Z ${\mathbb {Z}}$ Z and the Gaussians, double struck upper Z i ${\mathbb {Z}}[i]$ Z i are the only rings of integers of number fields for which we have a formula to compute their minimal Euclidean functions, phi Subscript double struck upper Z $\phi _{{\mathbb {Z}}}$ ϕ Z and phi Subscript double struck upper Z i $\phi _{{\mathbb {Z}}[i]}$
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,003 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,016 | 0,007 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».