Tree Height and the Asymptotic Mean of the Colijn–Plazzotta Rank of Unlabeled Binary Rooted Trees
Notice bibliographique
Résumé
Abstract The Colijn–Plazzotta ranking is a bijective encoding of the unlabeled binary rooted trees with positive integers. We show that the rank f ( t ) of a tree t is closely related to its height h , the maximal path length from a leaf to the root. We consider the rank $$f(\tau _n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of a random n -leaf tree $$\tau _n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> under each of three models: (i) uniformly random unlabeled unordered binary rooted trees, or unlabeled topologies; (ii) uniformly random leaf-labeled binary trees, or labeled topologies under the uniform model; and (iii) random binary search trees, or labeled topologies under the Yule–Harding model. Relying on the close relationship between tree rank and tree height, we obtain results concerning the asymptotic properties of $$\log \log f(\tau _n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . In particular, we find $${\mathbb {E}}\{\log _2 \log f(\tau _n)\} \sim 2 \sqrt{\pi n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> for uniformly random unlabeled ordered binary rooted trees and uniformly random leaf-labeled binary trees, and for a constant $$\alpha \approx 4.31107$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≈</mml:mo> <mml:mn>4.31107</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $${\mathbb {E}}\{\log _2 \log f(\tau _n)\} \sim \alpha \log n $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for leaf-labeled binary trees under the Yule–Harding model. We show that the mean of $$f(\tau _n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> itself under the three models is largely determined by the rank $$c_{n-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> of the highest-ranked tree—the caterpillar—obtaining an asymptotic relationship with $$\pi _n c_{n-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </j
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».