Optimal Average Disk-Inspection via Fermat's Principle
Notice bibliographique
Résumé
This work resolves the optimal average-case cost of the Disk-Inspection problem, a variant of Bellman's 1955 lost-in-a-forest problem. In Disk-Inspection, a mobile agent starts at the center of a unit disk and follows a trajectory that inspects perimeter points whenever the disk does not obstruct visibility. The worst-case cost was solved optimally in 1957 by Isbell, but the average-case version remained open, with heuristic upper bounds proposed by Gluss in 1961 and improved only recently. Our approach applies Fermat's Principle of Least Time to a recently proposed discretization framework, showing that optimal solutions are captured by a one-parameter family of recurrences independent of the discretization size. In the continuum limit these recurrences give rise to a single-parameter optimal control problem, whose trajectories coincide with limiting solutions of the original Disk-Inspection problem. A crucial step is proving that the optimal initial condition generates a trajectory that avoids the unit disk, thereby validating the optics formulation and reducing the many-variable optimization to a rigorous one-parameter problem. In particular, this disproves Gluss's conjecture that optimal trajectories must touch the disk. Our analysis determines the exact optimal average-case inspection cost, equal to $3.549259\ldots$ and certified to at least six digits of accuracy.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».