Improved estimates for the argument and zero-counting function of the Riemann zeta-function
Notice bibliographique
Résumé
In this article, we improve the recent work of Hasanalizade, Shen, and Wong by establishing <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue upper N left-parenthesis upper T right-parenthesis minus StartFraction upper T Over 2 pi EndFraction log left-parenthesis StartFraction upper T Over 2 pi e EndFraction right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 0.10076 log upper T plus 0.24460 log log upper T plus 8.08344 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>0.10076</mml:mn> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>0.24460</mml:mn> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>8.08344</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left | N (T) - \frac {T}{ 2 \pi } \log \left ( \frac {T}{2\pi e}\right ) \right |\le 0.10076\log T+0.24460\log \log T+8.08344,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T greater-than-or-equal-to e"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T\ge e</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N(T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the number of non-trivial zeros <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho equals beta plus i gamma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi> γ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho =\beta +i\gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than gamma less-than-or-equal-to upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi> γ </mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0>\gamma \le T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , of the Riemann zeta-function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta left-parenthesis s right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ζ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\zeta (s)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The main source of improvement comes from implementing new subconvexity bounds for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta left-parenthesis sigma plus i t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ζ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\zeta (\sigma +it)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma Subscript k">
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».