A Subnormal Closure Version and Proof of the Guralnick-Tracey Theorem on Proper Normal Subgroup Containment
Notice bibliographique
Résumé
In [8] we compared Flavell [6] and Guralnick-Tracey [7] criteria for a test subgroup K of a finite group G to be contained in a proper normal subgroup of G. In order to find useful examples one must first consider non-nilpotent groups with some but relatively few normal subgroups and with several layers in their lattice of subgroups. This precluded an effective approach by hand calculation, so instead we found suitable groups by considering the Shephard-Todd finite unitary reflection groups of rank 2 contained in U(2,C), and other related large groups in GL(4,C), which we represented using the Maplesoft™ built-in interactive matrix algebra over the complex numbers and generators from [2] and [3]. In these computational investigations we showed that the Guralnick-Tracey criteria were strictly stronger than the Flavell criteria, in that they were much more successful at detecting containment of a test subgroup in a proper normal subgroup in the many examples we considered. Furthermore, we verified computationally in all these examples that the descending normal closure of the test subgroup used by Guralnick-Tracey was identical to its subnormal closure. This lead to the observation that the Guralnick-Tracey theorem can be restated in terms of the subnormal closure of the test subgroup, which provides a new more transparent unification of the roles of the intimately related theorems of Flavell [6] and Wielandt [5]. In this paper we give a subnormal closure version of the Guralnick-Tracey theorem and present a new computationally guided proof while simultaneously displaying our computational examples corresponding to the various cases.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,009 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,006 |
| Communication savante | 0,002 | 0,005 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,004 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,008 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».