Exact Algorithms and Lower Bounds for Stable Instances of Euclidean \(\boldsymbol{k}\)- <scp>means</scp>
Notice bibliographique
Résumé
Abstract. We investigate the complexity of solving stable or perturbation-resilient instances of [Formula: see text]-means and [Formula: see text]-median clustering in fixed-dimensional Euclidean metrics (or more generally doubling metrics). The notion of stable or perturbation-resilient instances was introduced by Bilu and Linial [ Are stable instances easy?, 2010] and Awasthi, Blum, and Sheffet [ Stability yields a PTAS for k-median and k-means clustering, IEEE Computer Society, Washington, DC, 2010]. In our context, we say a [Formula: see text]-means instance is [Formula: see text]-stable if there is a unique optimum solution which remains unchanged if distances are (nonuniformly) stretched by a factor of at most [Formula: see text]. Stable clustering instances have been studied to explain why heuristics such as Lloyd’s algorithm perform well in practice. In this work we show that for any fixed [Formula: see text], [Formula: see text]-stable instances of [Formula: see text]-means in doubling metrics, which include fixed-dimensional Euclidean metrics, can be solved in polynomial time. More precisely, we show a natural multiswap local-search algorithm in fact finds the optimum solution for [Formula: see text]-stable instances of [Formula: see text]-means and [Formula: see text]-median in a polynomial number of iterations. We complement this result by showing that it is essentially tight: when the dimension [Formula: see text] is part of the input there is a fixed [Formula: see text] such that there is not even a PTAS for [Formula: see text]-stable [Formula: see text]-means in [Formula: see text] with [Formula: see text] unless NP = RP. To do this, we consider a robust property of CSPs: call an instance stable if there is a unique optimum solution [Formula: see text] and for any other solution [Formula: see text], the number of unsatisfied clauses is proportional to the Hamming distance between [Formula: see text] and [Formula: see text]. Dinur, Goldreich, and Gur have already shown stable QSAT is hard to approximate for some constant [Formula: see text] [ 20 ]. Recently, Paradise [ Comput. Complexity, 30 (2021), 1] extended this to the setting with bounded variable occurrence. More specifically, this implies that stable QSAT with bounded variable occurrence is APX-hard. Given this, we consider “stability-preserving” reductions to prove our hardness for stable [Formula: see text]-means. Such reductions seem to be more fragile and intricate than standard [Formula: see text]-reductions and may be of further use to demonstrate other stable optimization problems are hard to solve.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,037 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,004 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,003 | 0,004 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,007 |
| Études des sciences et des technologies | 0,004 | 0,004 |
| Communication savante | 0,011 | 0,017 |
| Science ouverte | 0,012 | 0,008 |
| Intégrité de la recherche | 0,005 | 0,009 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,038 | 0,007 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».