$\mathbb{A}^1$-invariant motivic cohomology of schemes
Notice bibliographique
Résumé
Voevodsky outlined a conjectural programme that his slice filtration in motivic homotopy theory should give rise to a good theory of $\mathbb{A}^1$-invariant motivic cohomology. This paper achieves his vision in the generality of arbitrary quasicompact, quasiseparated schemes, by introducing a theory of $\mathbb{A}^1$-invariant motivic cohomology which is related to Weibel's homotopy $K$-theory via an Atiyah--Hirzebruch spectral sequence, and which we compare to étale and syntomic cohomology in the style of the original conjectures of Beilinson and Lichtenbaum. In addition, it is represented by an absolute motivic spectrum and therefore satisfies cdh descent, and modules over it offer a candidate for the derived category of $\mathbb{A}^1$-invariant motives. We establish some of Voevodsky's open conjectures on slices, in particular relating the zeroth slice of the motivic sphere to homotopy $K$-theory. In the final section we prove analogous results for the Hermitian $K$-theory of qcqs schemes on which $2$ is invertible. As an auxiliary tool we introduce cdh-motivic cohomology, defined as the cdh sheafification of the left Kan extension of the motivic cohomology of smooth $\mathbb{Z}$-schemes. We offer a new approach to control the latter, independent of previous work on $\mathbb{A}^1$-invariant motivic cohomology of smooth schemes over mixed characteristic Dedekind domains: our approach is based on recent developments in $p$-adic cohomology, in particular syntomic and prismatic cohomology. The cdh-motivic cohomology is also a necessary ingredient in the last two authors' and Bouis' construction of non-$\mathbb{A}^1$-invariant motivic cohomology of qcqs schemes.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».