Cyclic sieving on permutations: An analysis of maps and statistics in the FindStat database
Notice bibliographique
Résumé
We perform a systematic study of permutation statistics and bijective maps on permutations using SageMath to search the FindStat combinatorial statistics database to identify apparent instances of the cyclic sieving phenomenon (CSP). Cyclic sieving occurs on a set of objects, a statistic, and a map of order n n when the evaluation of the statistic generating function at the d d th power of the primitive n n th root of unity equals the number of fixed points under the d d th power of the map. Of the apparent instances found in our experiment, we prove 34 new instances of the CSP and conjecture three more. Our results are organized largely by orbit structure, proving instances of the CSP for involutions with 2 n − 1 2^{n-1} fixed points and 2 ⌊ n 2 ⌋ 2^{\lfloor \frac {n}{2}\rfloor } fixed points, as well as maps whose orbits all have the same size. The FindStat maps which exhibit the CSP include a map constructed by Corteel (using a bijection of Foata and Zeilberger) to swap the number of nestings and crossings, the invert Laguerre heap map, a map of Alexandersson and Kebede designed to preserve right-to-left minima, conjugation by the long cycle, as well as reverse, complement, rotation, Lehmer code rotation, and toric promotion. Our results combined with prior work of the last 5 authors in (Math. Comp. 93 , 921–976) show that, contrary to common expectations, actions that exhibit homomesy are not necessarily the best candidates for the CSP, and vice versa.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,030 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,007 | 0,011 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,005 | 0,008 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,012 | 0,004 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».