Reconfiguration of colorings in triangulations of the sphere
Notice bibliographique
Résumé
In 1973, Fisk proved that any $4$-coloring of a $3$-colorable triangulation of the $2$-sphere can be obtained from any $3$-coloring by a sequence of Kempe changes. On the other hand, in the case where we are only allowed to recolor a single vertex in each step, which is a special case of a Kempe change, there exists a $4$-coloring that cannot be obtained from any $3$-coloring. In this paper, we present a linear-time checkable characterization of a $4$-coloring of a $3$-colorable triangulation of the $2$-sphere that can be obtained from a $3$-coloring by a sequence of recoloring operations at single vertices. In addition, we develop a quadratic-time algorithm to find such a recoloring sequence if it exists; our proof implies that we can always obtain a quadratic length recoloring sequence. We also present a linear-time checkable criterion for a $3$-colorable triangulation of the $2$-sphere that all $4$-colorings can be obtained from a $3$-coloring by such a sequence. Moreover, we consider a high-dimensional setting. As a natural generalization of our first result, we obtain a polynomial-time checkable characterization of a $k$-coloring of a $(k-1)$-colorable triangulation of the $(k-2)$-sphere that can be obtained from a $(k-1)$-coloring by a sequence of recoloring operations at single vertices and the corresponding algorithmic result. Furthermore, we show that the problem of deciding whether, for given two $(k+1)$-colorings of a $(k-1)$-colorable triangulation of the $(k-2)$-sphere, one can be obtained from the other by such a sequence is PSPACE-complete for any fixed $k \geq 4$. Our results above can be rephrased as new results on the computational problems named $k$-Recoloring and Connectedness of $k$-Coloring Reconfiguration Graph, which are fundamental problems in the field of combinatorial reconfiguration.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».