Reconfiguration of colorings in triangulations of the sphere
Notice bibliographique
Résumé
In 1973, Fisk proved that any $4$-coloring of a $3$-colorable triangulation of the $2$-sphere can be obtained from any $3$-coloring by a sequence of Kempe changes. On the other hand, in the case where we are only allowed to recolor a single vertex in each step, which is a special case of a Kempe change, there exists a $4$-coloring that cannot be obtained from any $3$-coloring. In this paper, we present a linear-time checkable characterization of a $4$-coloring of a $3$-colorable triangulation of the $2$-sphere that can be obtained from a $3$-coloring by a sequence of recoloring operations at single vertices. In addition, we develop a quadratic-time algorithm to find such a recoloring sequence if it exists; our proof implies that we can always obtain a quadratic length recoloring sequence. We also present a linear-time checkable criterion for a $3$-colorable triangulation of the $2$-sphere that all $4$-colorings can be obtained from a $3$-coloring by such a sequence. Moreover, we consider a high-dimensional setting. As a natural generalization of our first result, we obtain a polynomial-time checkable characterization of a $k$-coloring of a $(k-1)$-colorable triangulation of the $(k-2)$-sphere that can be obtained from a $(k-1)$-coloring by a sequence of recoloring operations at single vertices and the corresponding algorithmic result. Furthermore, we show that the problem of deciding whether, for given two $(k+1)$-colorings of a $(k-1)$-colorable triangulation of the $(k-2)$-sphere, one can be obtained from the other by such a sequence is PSPACE-complete for any fixed $k \geq 4$. Our results above can be rephrased as new results on the computational problems named $k$-Recoloring and Connectedness of $k$-Coloring Reconfiguration Graph, which are fundamental problems in the field of combinatorial reconfiguration.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».