Dynamics of a state-dependent delay model of repressible and inducible operons

An operon is a functioning segment of DNA which controls the synthesis of a certain kind of protein.We are interested in the dynamics of both inducible and repressible gene regulation which can be modeled by a system of delay differential equations.The delays arise due to the time taken for DNA transcription and mRNA translation.In the absence of delays, the repressible system is known to have a unique steady state which may undergo a Hopf bifurcation leading to a stable periodic orbit as parameters are varied in the system, and the inducible system is known to possess at most three coexisting steady states which may undergo bifurcations as parameters are varied.In this study, we consider a constant transcriptional delay, but consider the translation velocity to be a variable that depends on the concentration of intermediate protein.This results in a variable state-dependent translational delay which is implicitly defined by an integral threshold condition.We examine the steady states of such a state-dependent delay model analytically and study the stability and bifurcations of and from these steady states as parameters are varied.We primarily use two MATLAB packages, DDE-BIFTOOL and DDESD.We find fold bifurcations, coexisting steady states and Hopf bifurcations.We also show how to study stable periodic orbits arising from the Hopf bifurcations in the presence of implicit delays.We thus demonstrate that state-dependent time delays have an effect on the dynamics of gene regulation.Introduction of state-dependent delays not only improves the physiological meaning of the model, but also makes a difference to the stability of the system.With the state-dependent delay, we find that it is possible for the repressible system to possess up to three coexisting steady states and bistability between a stable periodic orbit and either a stable steady state or another stable periodic orbit.ii ABRÉGÉ Un opéron est un segment d'ADN fonctionnel qui contrôle la synthèse de certaines protéines.Nous nous intéressons à la régulation des gènes inductibles et répressibles ayant une dynamique qui peut être modélisée par un système d'équations différentielles à retard.Ces retards sont dus à la durée de la transcription de l'ADN et la traduction de l'ARNm.En absence de retards, le système répressible possède un unique état stationnaire qui peut subir une bifurcation de Hopf conduisant à une orbite périodique stable.En revanche, le système inductible possède au plus trois états staionnaire co-existants qui peuvent subir des bifurcations en fonction des paramètres du système.Dans cette étude, nous considérons que le retard est constant, mais que la vitesse de traduction dépend de la concentration de la protéine intermédiaire.Il en résulte un retard translationnel dépendant de l'état qui est implicitement défini par une condition de seuil intégrale.Nous analysons les états stationnaires d'un tel modèle de retard dépendant de l'état en étudiant la stabilité et les bifurcations à partir de ces états stationnaires en fonction des paramètres du système.Nous utilisons principalement deux progiciels MATLAB, DDE-BIFTOOL et DDESD.Nous trouvons des états stationnaires coexistants et des bifurcations de pli et de Hopf.Nous montrons également comment étudier des orbites périodiques stables qui résultent de bifurcations de Hopf en présence de délais implicites.Ainsi, nous démontrons que les retards temporels dépendant de l'état ont un effet sur la dynamique de la régulation des gènes.L'introduction de retards dépendant de l'état améliore non seulement la signification physiologique du modèle, mais a également un impact sur la stabilité du système.En effet, avec le retard dépendant de l'état, nous constatons qu'il est possible que le système répressible possède jusqu'à trois états stationnaires et une bistabilité entre une orbite périodique stable et soit un point stationnaire stable soit une orbite périodique stable.

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