Nonparametric random fields with applications in functional imaging

In functional imaging, we are searching for the location of a particular effect in a group of images.It is often of interest to perform a statistical test at each point of the image, and reject the null hypothesis of "no effect" where there is significant evidence to do so.For such purpose, a test statistic should be evaluated at each point of the image, resulting in a test statistic image.The test statistic image can be considered as a stochastic process or a random field, f , defined on some parameter space, T , and taking values in R. When the statistic image, f , is submitted to a threshold of level u the p-value will be the excursion probability,When f satisfies certain conditions, Random Field Theory (RFT) can be used to estimate the above excursion probability by calculating the expected Euler characteristic (EC) of the excursion sets of f .Excursion sets are subsets of the parameter space T given byThe existing RFT results give explicit formulas for E[EC(A u )] when f is a function of Gaussian random fields [26,27].From the "hypothesis testing" point of view, this means that the test performed at each point of the image should be parametric.Parametric tests often assume that the observations are normally-distributed and v this assumption does not always hold.If this normality assumption fails, the underlying random fields of our test will not be Gaussian, and consequently, the Gaussian RFT results would not be valid.In this thesis we propose nonparametric counterparts to these parametric tests.Evaluating a nonparametric test statistic at each point of the parameter space, T , results in a random field, which we call a "nonparametric random field".The nonparametric tests used in this work are the Sign test, the Wilcoxon rank-sum test and a general linear rank test.We define the nonparametric random fields precisely, and then derive a formula for E[EC(A u )], when the parameter space is T = [a, b].Although these results work only for one-dimensional parameter spaces,they constitute a solid first attempt and should pave the way for future generalizations.Moreover, we introduce a new application for the one-dimensional case, in localization of data types, in file type detection studies.We also study the asymptotic behavior of nonparametric random fields and show that the discrete nonparametric fields converge weakly to Gaussian fields, for which we are able to use the existing RFT results.These asymptotic results can be practically used for any dimension.We finally apply these asymptotic results to brain imaging data.vi ABR ÉG É En imagerie fonctionelle, on cherche à localiser un effet particulier à l'aide d'une collection d'images.Il est souvent d'intérêt d'effectuer un test statistique à chaque point de l'image, et de rejeter l'hypothèse nulle stipulant "aucun effet" s'il y a preuve considérable en cette direction.À cette fin, une statistique-test devrait être évaluée à chaque point de l'image, résultant ainsi en une image statistique-test.L'image statistique-test peut être perçue comme étant un procédé stochastique ou un champ aléatoire, f , défini sur un espace-paramètre, T , et avec image en R. Quand l'image statistique-test, f , est soumise à un seuil de niveau u la p-valeur sera la probabilité d'excursion, P {sup t f (t) ≥ u}.Quand f satisfait certaines conditions, la Théorie des Champs Aléatoires (TCA) peut être utilisée afin d'estimer cette probabilité d'excursion en calculant l'espérance mathématique de la caractérisque d'Euler (CE) des ensembles d'excursion de f .Les ensembles d'excursion sont les sous-ensembles de l'espace-paramètre T décrits par A u = {t ∈ T : f (t) ≥ u}.Les résultats de la TCA déjà établis procurent des formules explicites pour E[EC(A u )] quand f est une fonction de champs gaussiens [26, 27].De la perspective des tests d'hypothèse, ceci implique que le test effectué à chaque point de l'image devrait être paramétrique.Les tests paramétriques requièrent fréquemment que les vii observations soient normalement distribuées, bien que cette hypothèse ne soit pas toujours vraie.Si l'hypothèse de normalité est fausse, les champs aléatoires obtenues à partir de notre statistique-test ne sont pas gaussiens et conséquemment, les résultats de la TCA gaussiens sont invalides.Dans cette thèse, on propose un homologue non-paramétrique aux tests paramétriques.L'évaluation d'une statistique-test nonparamétrique à chaque point de l'espace-paramètre, T , résulte en un champ aléatoire, que l'on nommera " champ aléatoire non-paramétrique." Les tests non-paramétriques utilisés dans ce travail sont le test du signe, le test de la somme des rangs de Wilcoxon et le test de rangs linéaire général.On définit précisément le champ aléatoire non-paramétrique, pour ensuite dériver une formule pour E[EC(A u )] quand l'espace-paramètre est T = [a, b].Bien que ces résultats soient uniquement valides pour des espaces-paramètre unidimensionels, ils constituent un premier pas important et devrait frayer la voie à de plus amples généralisations.De plus, on introduit une nouvelle application pour le cas unidimensionel, notamment concernant la localisation de types de données lors d'études de détection de types de fichiers.On étudie également le comportement asymptotique des champs aléatoires non-paramétriques et démontre que les champs aléatoires discrets converge faiblement vers des champs gaussiens, pour lesquelles les résults de la TAC sont applicables.Ces résultats asymptotiques s'avèrent utiles pour toute dimension.On applique finalement ces résultats asymptotiques à des données d'imagerie cervicale.

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