Numerical and Analytical Calculation of the Hydrodynamic Coefficients of a Simplified Francis Turbine Radial Seal under Whirling Vibrations

RÉSUMÉ: L’énergie hydraulique représente plus de 60% de la production d’énergie au Canada, et 96% des sources d’énergie au Québec. De nombreux barrages hydroélectriques au Québec sont équipés de roue de turbine de type Francis. Ces roues sont confinées radialement au sein du stator, avec des chambres latérales incluant d’étroits joints radiaux. Lors du fonctionnement de la turbine, un débit de fuite turbulent traverse ces joints radiaux, avant de s’écouler dans les chambres latérales. Une déviation radiale du rotor modifie l’écoulement dans les joints, créant ainsi un gradient de pression important. Ce nouveau champ de pression génère des forces d’excitation sur le rotor, qui est alors soumis à des vibrations selon une orbite circulaire. Ces forces sont caractérisées par des coefficients dynamiques de masse, d’amortissement et de rigidité. Ceux-ci constituent des variables d’entrée primordiale à l’analyse de la dynamique de la ligne d’arbre de la turbine, car ils permettent de prédire les vibrations de l’ensemble du système rotorique. Cependant, les caractéristiques hydrodynamiques du débit de fuite autour de la roue de turbine sont peu connues, et sont généralement négligées lors des calculs traditionnels de la dynamique de la ligne d’arbre. Ainsi, notre objectif est de déterminer ces coefficients dynamiques du rotor en prenant en compte l’influence de ces joints hydrodynamiques, afin d’améliorer la précision des analyses de la ligne d’arbre. Les forces radiales et tangentielles exercées sur le rotor, pour une vitesse de rotation donnée, peuvent être représentées par des polynômes quadratiques et linéaires de la fréquence orbitale, dont les coefficients polynomiaux correspondent aux coefficients rotodynamiques. Ainsi, pour évaluer ces coefficients, il est nécessaire de déterminer les forces radiales et tangentielles agissant sur le rotor afin de les interpoler. Une modélisation numérique de la dynamique des fluides (CFD) réalisée avec le logiciel ANSYS CFX permet de calculer ces forces pour différentes fréquences orbitales. De plus, un modèle numérique acoustique-structurel basé sur la méthode des éléments finis (FEM) a été développé avec ANSYS Mechanical APDL : des analyses harmoniques, avec imposition du mouvement orbital au rotor, sont effectuées pour déterminer les forces résultantes, pour plusieurs fréquences orbitales également. Pour une géométrie de rotor cylindrique entouré d’un joint radial annulaire, les forces obtenues à partir de ces deux modèles numériques sont comparées à celles obtenues par un modèle analytique basé sur la théorie de l’écoulement potentiel. Contrairement à la CFD, le modèle acoustique-structurel néglige le cisaillement du fluide, ce qui entraîne un gradient de pression en phase avec le mouvement du rotor, et une force fluide purement radiale au rotor dans son mouvement. L’absence de composante tangentielle dans la force de réaction empêche l’évaluation de l’amortissement direct et de la rigidité croisée du rotor. En revanche, la CFD prend en compte la dynamique complète de l’écoulement, ce qui permet d’évaluer la force tangentielle. Le modèle CFD a permis d’étudier la dépendance des coefficients dynamiques par rapport à la configuration du confinement radial. Il a ainsi été observé que la position du joint radial par rapport à la chambre radiale plus large a un impact significatif sur la stabilité du système joint-rotor. Lorsque le joint est en amont de la chambre, le rotor devient instable du fait de son amortissement négatif, tandis qu’un joint placé en aval de la chambre radiale confère une rigidité positive. Par conséquent, lorsqu’un joint se situe en amont de la chambre, l’ajout d’un second joint aval permet de réduire cette instabilité. Par ailleurs, des études paramétriques menées sur une géométrie de confinement latéral, comportant un joint en amont de la chambre, montrent que les coefficients hydrodynamiques sont également sensibles aux dimensions radiales du joint et de la chambre, ainsi qu’au débit massique et à la fréquence angulaire du rotor. Ces différents paramètres exercent donc une influence directe sur la stabilité du rotor. Les coefficients dynamiques du rotor qui résultent de ces divers modèles permettent d’améliorer l’analyse de la ligne d’arbre. ABSTRACT: Turbulent leakage flow passes through the radial seals and side chambers of a Francis turbine runner. A small deviation of the rotor changes the radial seal flow, inducing a strong pressure gradient. It gives rise to fluid reaction forces acting on the rotor, which is subjected to whirling vibrations. These forces can be modelled by dynamic force coefficients in the shaft-line dynamics and are important for predicting whirling vibrations. However, the hydrodynamic characteristics of this leakage flow around a Francis turbine runner are not well known and are not included in the traditional shaft line rotor dynamic calculation. We determine the rotor dynamic coefficients to improve the accuracy of shaft line analyses. Radial and tangential forces for a given rotating speed are written as quadratic and linear polynomials of the whirl frequency. The polynomial coefficients correspond to the rotor dynamic coefficients. A computational fluid dynamics (CFD) simulation by ANSYS CFX computes these forces for different whirl frequencies. Harmonic analyses on a vibroacoustic finite element model (FEM) are also performed to obtain these forces. Their interpolation as a function of the whirl frequency yields the rotordynamic coefficients. These numerical models are compared with an analytical potential flow theory model for a plain annular seal geometry. Both numerical models demonstrate similar radial forces for the plain annular seal configuration. However, in opposition to CFD, the vibroacoustic model does not account for fluid shear, neglecting the phase shift between pressure gradient and rotor displacement, and consequently, the absence of tangential forces. This limitation prevents the evaluation of direct damping and cross-coupled stiffness. Since CFD considers all flow dynamics, it allows for the study of the dependence of the rotordynamic coefficients on the radial clearance configuration. Placing the seal downstream of the side chamber promotes stability, while having an upstream seal generates the opposite effect. Therefore, installing a second downstream seal can improve rotor stability if the runner radial clearance features an upstream seal. Furthermore, parametric studies on a clearance-and-side-chamber geometry highlight that hydrodynamic coefficients are also sensitive to radial casing dimensions, mass flow rate, and rotor angular frequency, all of which have a direct influence on rotor stability. The resulting rotor dynamic coefficients help to improve the shaft line analysis.

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