On the foundations for a measure theory and integration in two and three dimensions and a theory of delta functions over the Levi-Civita field
Notice bibliographique
Résumé
The field of real numbers does not permit a direct representation of the (improper) delta functions used for the description of impulsive (instantaneous) or concentrated (localized) sources. Of course, within the framework of distributions, these concepts can be accounted for in a rigorous fashion, but at the expense of the intuitive interpretation. The existence of infinitely small numbers and infinitely large numbers in the Levi-Civita field allows us to have well-behaved delta functions which, when restricted to the real numbers, reduce to the Dirac delta function. Here we develop the foundations for a mathematically rigorous theory of localized and instantaneous sources that has a clear and unambiguous way of specifying a mathematically concentrated source. We use the already existent one variable measure and integration theory on Levi-Civita field to construct the foundations of a measure and integration theory in two and three dimensions. First we construct measurable sets using sets with boundaries that can be expressed as analytic functions and we show the the resulting measure is Lebesgue-like. In particular we prove the measurability of countable sets, the countable union of measurable sets, and the finite intersection of measurable sets. Following that we use analytic functions to construct a larger class of measurable functions, we then define the integral of a measurable function over a measurable set. We prove several propositions regarding measurable functions and the associated integration theory including that the set of measurable functions is closed under multiplication and addition, and that integration is linear. This allows for a wide range of applications for the delta function in one, two, and three dimensions and sets the course for a more extensive study of this topic in the future.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,011 |
| Communication savante | 0,005 | 0,006 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,005 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».