On the norm of normal matrices
Notice bibliographique
Résumé
In this article, we present some recent results related to the calculation of the induced p-norm of n times n circulant matrices A(n, a, b) with diagonal entries equal to a in R and off-diagonal entries equal to b in R. For circulant matrices with nonnegative entries, an explicit formula for the induced p-norm (p between 1 and infinity) is given, whereas for A(n, a, b), a > 0 the situation is no longer so simple and calls for a more subtle analysis. As a matter of fact, while \nthe 2-norm of A(n, a, b) is precisely determined, the exact value of the induced p-norm for 1 < p < infinity and p not equal to 2, still remains elusive. Nevertheless, we provide a lower bound as well as two different categories of upper bounds. As an indication of not being far from the exact values, our estimates coincide at both ends points (i.e., p = 1 and p = infinity) as well as at p = 2 with the precise values. As an abstract approach, we also introduce the *-algebra generated by a normal matrix A accompanied by an axis-oriented norm, and obtain some estimations of the norm of elements of the *-algebra. We then exhibit the connection between the new generalized estimates and the previously obtained estimates in the special case where A is a circulant matrix. Finally, using an optimization-oriented approach, we gain insights on the nature of the maximizing vectors for the p-norm of Ax divided by the p-norm of x. This leads us to formulate a conjecture that, if proven valid, would make it possible to derive an exact formula for the induced p-norm of \nA(n, a, b) in a particular case of special interest, namely when a = 1-n/n and b = 1/n.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,010 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,005 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,005 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».