Mesures de risque matrice-variable, vecteur-variable et univarié et aspects connexes

Généralement, les mesures de risque sont considérées comme des mappings d'un ensemble de variables aléatoires réelles vers des nombres réels. Cependant, il est souvent insuffisant de considérer une seule mesure réelle pour quantifier les risques découlant des activités financières. Au cours de la dernière décennie, de nombreuses extensions de la Valeur à risque multivariée ont été étudiées et certains articles proposent des méthodes alternatives de mesure du risque pour les portefeuilles multivariés. Toutefois, comme le mentionne Li et al. [2012], certaines des traductions univariées sont devenues irréalistes et reposent sur des hypothèses inappropriées qui, dans le contexte des mesures de risque, sont difficiles à élucider. Les mesures de risque les plus utilisées en économie, en assurance et en finance sont probablement la valeur à risque (VaR) et la valeur à risque conditionnelle (CVaR). L'objectif de cette thèse est de proposer de nouvelles méthodologies pour quantifier la VaR et la CVaR à partir d'une approche vecteur-variable et matrice-variable. Dans le premier chapitre de la thèse, une nouvelle approche pour modéliser les mesures de risque vecteur-variable sous le barycentre de Wasserstein des mesures de probabilité est proposée. Un aspect crucial sous-jacent ici pour la nouvelle méthode est que le barycentre de Wasserstein des mesures reste invariant sous les distributions de localisation et d'échelle, il est donc possible de proposer des formules exactes pour le barycentre de Wasserstein de la VaR et de la CVaR. Explicitement, un concept de la théorie des probabilités est incorporé aux modèles financiers en proposant des mesures de Fréchet, qui sont calibrées par une certaine métaréalisation de l'espace des mesures de probabilité. Dans ce cas, la métrique de Wasserstein soutient la méthode et fournit des connexions fondamentales avec le concept émergent de barycentre au sens d'Agueh et Carlier dans Agueh and Carlier [2011]. Le modèle proposé est comparé à d'autres modèles simples et avancés, et ses performances sont vérifiées sur les principaux indices boursiers américains, pendant la pandémie de COVID-19. Le modèle introduit fonctionne de manière satisfaisante dans les périodes de prix d'actifs communs et volatils, fournissant une prévision réaliste de la VaR dans cette ère de distanciation sociale. Maintenant, lorsque nous cherchons une extension matrice-variable de la VaR, la littérature financière ne fournit aucune approche. Cependant, d'un point de vue mathématique, la VaR ne requiert des percentiles significatifs que dans le contexte des fonctions de densité cumulative matricielle. La théorie des distributions matrice-variable est étudiée en profondeur dans Muirhead [2005]. En particulier, des formules sont fournies pour calculer P(X < = V) et P(X > = V) lorsque X suit une distribution de Wishart et V est une matrice définie positive et il a été démontré que la fonction de distribution cumulative peut être exprimée en termes de fonction hypergéométrique gaussienne. [...]

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