La structure de Jordan des matrices de transfert des modèles de boucles et la relation avec les hamiltoniens XXZ

Les modèles sur réseau comme ceux de la percolation, d’Ising et de Potts servent\nà décrire les transitions de phase en deux dimensions. La recherche de leur solution\nanalytique passe par le calcul de la fonction de partition et la diagonalisation de matrices de transfert. Au point critique, ces modèles statistiques bidimensionnels sont\ninvariants sous les transformations conformes et la construction de théories des\nchamps conformes rationnelles, limites continues des modèles statistiques, permet\nun calcul de la fonction de partition au point critique. Plusieurs chercheurs pensent\ncependant que le paradigme des théories des champs conformes rationnelles peut\nêtre élargi pour inclure les modèles statistiques avec des matrices de transfert non diagonalisables. Ces modèles seraient alors décrits, dans la limite d’échelle, par\ndes théories des champs logarithmiques et les représentations de l’algèbre de Virasoro\nintervenant dans la description des observables physiques seraient indécomposables.\nLa matrice de transfert de boucles D_N(λ, u), un élément de l’algèbre de Temperley-\nLieb, se manifeste dans les théories physiques à l’aide des représentations\nde connectivités ρ (link modules). L’espace vectoriel sur lequel agit cette représentation se décompose en secteurs étiquetés par un paramètre physique, le nombre d de défauts. L’action de cette représentation ne peut que diminuer ce nombre ou le laisser constant. La thèse est consacrée à l’identification de la structure de Jordan de D_N(λ, u) dans ces représentations. Le paramètre β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixe la théorie : β = 1 pour la percolation et √2 pour le modèle d’Ising, par exemple.\nSur la géométrie du ruban, nous montrons que D_N(λ, u) possède les mêmes blocs de Jordan que F_N, son plus haut coefficient de Fourier. Nous étudions la non\ndiagonalisabilité de F_N à l’aide des divergences de certaines composantes de ses\nvecteurs propres, qui apparaissent aux valeurs critiques de λ. Nous prouvons dans\nρ(D_N(λ, u)) l’existence de cellules de Jordan intersectorielles, de rang 2 et couplant des secteurs d, d′ lorsque certaines contraintes sur λ, d, d′ et N sont satisfaites.\nPour le modèle de polymères denses critique (β = 0) sur le ruban, les valeurs\npropres de ρ(D_N(λ, u)) étaient connues, mais les dégénérescences conjecturées. En\nconstruisant un isomorphisme entre les modules de connectivités et un sous-espace\ndes modules de spins du modèle XXZ en q = i, nous prouvons cette conjecture.\nNous montrons aussi que la restriction de l’hamiltonien de boucles à un secteur\ndonné est diagonalisable et trouvons la forme de Jordan exacte de l’hamiltonien\nXX, non triviale pour N pair seulement.\nEnfin nous étudions la structure de Jordan de la matrice de transfert T_N(λ, ν)\npour des conditions aux frontières périodiques. La matrice T_N(λ, ν) a des blocs de Jordan intrasectoriels et intersectoriels lorsque λ = πa/b, et a, b ∈ Z×. L’approche\npar F_N admet une généralisation qui permet de diagnostiquer des cellules intersectorielles dont le rang excède 2 dans certains cas et peut croître indéfiniment avec N. Pour les blocs de Jordan intrasectoriels, nous montrons que les représentations de connectivités sur le cylindre et celles du modèle XXZ sont isomorphes sauf pour certaines valeurs précises de q et du paramètre de torsion v. En utilisant le comportement de la transformation i_N^d dans un voisinage des valeurs critiques (q_c, v_c), nous construisons explicitement des vecteurs généralisés de Jordan de rang 2 et\ndiscutons l’existence de blocs de Jordan intrasectoriels de plus haut rang.

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