Noncommutative Differential Geometry and Infinitesimal Spaces

In this thesis dissertation, we introduce the language of noncommutative differential geometry to formalize discrete differential calculus.In Chapter 2, we begin with a brief review of the inverse limit of posets as an approximation of topological spaces.We then show how to associate a C *algebra over a poset, giving it a piecewise-linear structure.Furthermore, we explain how dually the algebra of continuous function C(M ) over a manifold M can be approximated by a direct limit of C * -algebras over posets.Finally, in the spirit of noncommutative differential geometry, we define a finite dimensional spectral triple on each poset.We show how the usual finite difference calculus is recovered as the eigenvalues of the commutator with the Dirac operator.We prove a convergence result in the case of the d-lattice in R d and for the torus T d .Chapter 3 presents a follow-up work on the noncommutative differential geometry on discrete spaces introduced in the previous chapter.On the one hand, we reformulate the definition of finite dimensional compatible Dirac operators using Clifford algebras.This definition also leads to a new construction of a Laplace operator.We then show that any sequence of compatible Dirac operators (D n ) n∈N yields to a bounded operator.On the other hand, after a brief introduction of Green's function on manifolds, we show that when the Dirac operators are interpreted as transition matrices, the sequence (D n ) n∈N converges in average to the usual Dirac operator on a spin manifold.The same conclusion can be drawn for the Laplace operator. RésuméDans cette thèse, nous introduisons le langage de la géométrie différentielle noncommutative afin de formaliser le calcul différentiel discret.Dans le Chapitre 2, nous commençons par une brève description de limites inverses d'ensembles partiellement ordonnés (parfois appelé poset d'après l'anglais partially ordered set) comme approximation d'espace topologique.Nous montrons ensuite comment une C * -algèbre peut être associée à un poset.Cette C * -algèbre induit, de fait, une structure linéaire par morceau sur l'espace en question.En outre, nous expliquons comment, de manière duale, l'algèbre des fonctions continue C(M ) sur une variété M peut être approximée par une limite directe de C * -algèbres associées à des posets.Enfin, et dans l'esprit de la géométrie différentielle noncommutative, nous définissons un triplet spectral sur chaque poset.Nous montrons que les formules de différences finies usuelles se retrouvent comme valeurs propres du commutateur avec l'opérateur de Dirac.Nous prouvons la convergence de ces formules dans le cas de la d-lattice et du tore T d .Le Chapitre 3 est une suite immédiate des travaux sur la géométrie différentielle noncommutative sur des espaces discrets développés dans le chapitre précédent.D'une part, nous reformulons la définition d'opérateur de Dirac de dimension finie en termes d'algèbre de Clifford.Cette définition conduit à une nouvelle construction du Laplacien.Nous montrons ensuite que n'importe quelle séquence d'opérateurs de Dirac (D n ) n∈N définit un opérateur borné.D'autre part, suit à une brève introduction sur les fonctions de Green définies sur des variétés lisses, nous montrons que lorsque les opérateurs de Dirac sont interprétés comme des matrices de transition, la séquence d'opérateur (D n ) n∈N converge en moyenne vers l'opérateur de Dirac classique sur une variété avec une structure spinorielle.Une conclusion semblable est démontrée pour l'opérateur de Laplace.

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