Rational approximations on smooth rational surfaces
Notice bibliographique
Résumé
In this thesis, we study a conjecture made by D. McKinnon about rational approximations to rational points in algebraic varieties. The conjecture states that if a rational point P on a variety X lies on a rational curve, then the best approximations to P can be chosen to lie along a rational curve on X. According to the conditions of the conjecture, it is natural to study this problem on algebraic varieties that contain a dense subset of rational points. Motivated by this remark, we study the conjecture on smooth rational surfaces, which not only contain a dense set of rational points, but also their classification is well understood. \nGiven a point P on an algebraic variety and an ample divisor D, the approximation constant measures how well P can be approximated by rational points on the variety, with respect to a height function associated to D. In the study of the conjecture, it became clear that if a curve C contains the best approximations to P with respect to ample divisors D and D', then C turns out to be also a curve containing the best approximations for any divisor that is a linear combination of D and D'. This property motivated the study of the nef cone of the algebraic variety. Every ample divisor belongs to the interior of the nef cone and can be written as a linear combination of the generators of the nef cone. \nBy an exhaustive study of the effective and nef cones on a smooth rational surface, it is possible to find a curve that contains the best approximations to the point P with respect to an ample divisor, which can be written in terms of the generators of the nef cone. In this work we use the fact that a smooth rational surface is obtained by a finite number of blow-ups of a Hirzebruch surface or of the projective plane. The Hirzebruch surfaces are equipped with morphisms to the projective line and to cones in some projective space. The study of the fibres of these morphisms provide good candidates of curves with best approximations and we rely on them to prove the conjecture for these cases. \nWe review the conjecture proved by McKinnon in the case of smooth rational surfaces of Picard rank 4. We explore some of the examples in this case to present the techniques using the nef cone of the variety, and then we extend the result for surfaces of bigger Picard ranks. Finally, we extend the result to surfaces obtained by blowing up an arbitrary number of times on smooth points of the reducible fibre of the map to the projective line.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,005 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».