Théorèmes d'existence pour des systèmes d'équations différentielles et d'équations aux échelles de temps.

Nous présentons dans cette thèse des théorèmes d’existence pour des systèmes\nd’équations différentielles non-linéaires d’ordre trois, pour des systèmes d’équa-\ntions et d’inclusions aux échelles de temps non-linéaires d’ordre un et pour des\nsystèmes d’équations aux échelles de temps non-linéaires d’ordre deux sous cer-\ntaines conditions aux limites.\n Dans le chapitre trois, nous introduirons une notion de tube-solution pour\nobtenir des théorèmes d’existence pour des systèmes d’équations différentielles\ndu troisième ordre. Cette nouvelle notion généralise aux systèmes les notions de\nsous- et sur-solutions pour le problème aux limites de l’équation différentielle du\ntroisième ordre étudiée dans [34]. Dans la dernière section de ce chapitre, nous\ntraitons les systèmes d’ordre trois lorsque f est soumise à une condition de crois-\nsance de type Wintner-Nagumo. Pour admettre l’existence de solutions d’un tel\nsystème, nous aurons recours à la théorie des inclusions différentielles. Ce résultat\nd’existence généralise de diverses façons un théorème de Grossinho et Minhós [34].\n Le chapitre suivant porte sur l’existence de solutions pour deux types de sys-\ntèmes d’équations aux échelles de temps du premier ordre. Les résultats d’exis-\ntence pour ces deux problèmes ont été obtenus grâce à des notions de tube-solution\nadaptées à ces systèmes. Le premier théorème généralise entre autre aux systèmes\net à une échelle de temps quelconque, un résultat obtenu pour des équations aux\ndifférences finies par Mawhin et Bereanu [9]. Ce résultat permet également d’obte-\nnir l’existence de solutions pour de nouveaux systèmes dont on ne pouvait obtenir\nl’existence en utilisant le résultat de Dai et Tisdell [17]. Le deuxième théorème de\nce chapitre généralise quant à lui, sous certaines conditions, des résultats de [60].\nLe chapitre cinq aborde un nouveau théorème d’existence pour un système d’in-\nclusions aux échelles de temps du premier ordre. Selon nos recherches, aucun\nrésultat avant celui-ci ne traitait de l’existence de solutions pour des systèmes\nd’inclusions de ce type. Ainsi, ce chapitre ouvre de nouvelles possibilités dans le\ndomaine des inclusions aux échelles de temps. Notre résultat a été obtenu encore\nune fois à l’aide d’une hypothèse de tube-solution adaptée au problème.\n Au chapitre six, nous traitons l’existence de solutions pour des systèmes\nd’équations aux échelles de temps d’ordre deux. Le premier théorème d’existence\nque nous obtenons généralise les résultats de [36] étant donné que l’hypothèse\nque ces auteurs utilisent pour faire la majoration a priori est un cas particulier\nde notre hypothèse de tube-solution pour ce type de systèmes. Notons également\nque notre définition de tube-solution généralise aux systèmes les notions de sous-\net sur-solutions introduites pour les équations d’ordre deux par [4] et [55]. Ainsi,\nnous généralisons également des résultats obtenus pour des équations aux échelles\nde temps d’ordre deux. Finalement, nous proposons un nouveau résultat d’exis-\ntence pour un système dont le membre droit des équations dépend de la ∆-dérivée\nde la fonction.

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