Topics in quasi-Newton and space-time spectral methods
Notice bibliographique
Résumé
The first part of this thesis focuses on quasi-Newton methods. Broyden's method is a quasi-Newton method which is used to solve a system of nonlinear equations. Almost all convergence theory in the literature assumes existence of a root and bounds on the nonlinear function and its derivative in some neighbourhood of the root. All these conditions cannot be checked in practice. The motivation of this work is to derive a convergence theory where all assumptions can be verified, and the existence of a root and its superlinear rate of convergence are consequences of the theory. The theory is simple in the sense that it contains as few constants as possible. The method of Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) is also a quasi-Newton method for unconstrained minimization. We generalize a convergence theory where all assumptions are verifiable and existence of a minimizer and superlinear convergence of the iteration are conclusions. In a continuation of this part, we consider Perry nonlinear conjugate gradient (NCG) method and scaled memoryless BFGS method. In the second part, space-time spectral methods are considered. For time dependent problems, almost all focus has been on low-order finite difference schemes for the time derivative and spectral schemes for spatial derivatives. Spectral methods which converge spectrally in both space and time have appeared recently. In this thesis, it is shown that a Chebyshev spectral collocation method of Tang and Xu for the heat equation converges exponentially when the solution is analytic. We also derive a condition number estimate of the method. Another space-time Chebyshev collocation scheme which is easier to implement is proposed and analyzed. We also present space-time spectral collocation methods for the Schrodinger, wave, Airy and beam equations. In particular, fully spectral convergence and a condition number estimate are shown for Schrodinger and wave equations. Numerical results verify the theoretical results, and demonstrate that the space-time methods also work for some common nonlinear PDEs (Allen-Cahn, viscous Burgers', Sine-Gordon, KdV, Kuramoto--Sivashinsky and Cahn-Hilliard equations).
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».