1,2-efficiency in grid graphs
Notice bibliographique
Résumé
<p>Let <span class="math inline">\(G = (V, E)\)</span> be a graph with vertex set <span class="math inline">\(V\)</span> and edge set <span class="math inline">\(E\)</span>. A vertex set <span class="math inline">\(S \subset V\)</span> is a <span><em>perfect dominating set</em></span> if every vertex in <span class="math inline">\(V - S\)</span> is adjacent to exactly one vertex in <span class="math inline">\(S\)</span>. A perfect dominating set <span class="math inline">\(S\)</span> is furthermore: (i) an <span><em>efficient dominating set</em></span> or a <span><em><span class="math inline">\(1\)</span>-efficient dominating set</em></span> if no two vertices in <span class="math inline">\(S\)</span> are adjacent, (ii) a <span><em>total efficient dominating set</em></span> or a <span><em><span class="math inline">\(2\)</span>-efficient dominating set</em></span> if every vertex in <span class="math inline">\(S\)</span> is adjacent to exactly one other vertex in <span class="math inline">\(S\)</span>, and (iii) a <span><em><span class="math inline">\(1,2\)</span>-efficient dominating set</em></span> if every vertex in <span class="math inline">\(S\)</span> either adjacent to no vertices in <span class="math inline">\(S\)</span> or to exactly one other vertex in <span class="math inline">\(S\)</span>. In this paper we introduce the concept of <span><em><span class="math inline">\(1,2\)</span>-efficiency</em></span> in graphs and apply it to the existence of <span class="math inline">\(1,2\)</span>-efficient sets in <span><em>grid graphs</em></span> <span class="math inline">\(G_{m,n}\)</span>, that is, graphs resembling chessboards having a rectangular array of <span class="math inline">\(m \times n\)</span> vertices arranged into <span class="math inline">\(m\)</span> rows of <span class="math inline">\(n\)</span> vertices, or <span class="math inline">\(n\)</span> columns of <span class="math inline">\(m\)</span> vertices. It is well known that almost no grid graphs are <span class="math inline">\(1\)</span>-efficient, and relatively few grid graphs are <span class="math inline">\(2\)</span>-efficient. However, in this paper, we show that all but a relatively small percentage of grid graphs are <span class="math inline">\(1,2\)</span>-efficient.</p>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,009 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,003 | 0,005 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,013 | 0,003 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».