Geometry and Analysis on Cauchy Riemann Manifolds John Bland (University of Toronto),
Notice bibliographique
Résumé
One of the famous open questions in several complex variables is the following: Is every 5 dimensional strongly pseudoconvex CR manifold locally embeddable? This is a remarkably subtle question relating geometry, complex analysis and partial dierential equations. To shed some light on this question, we will brie\ny recall the denitions and known results. Let M be a smooth oriented 2n+1-manifold. An almost CR structure (for Cauchy-Riemann) on M is a complex subbundle H(1;0)M of the complexied tangent bundle such that H(0;1)M: = H(1;0)M is everywhere transverse to H(1;0)M. The almost CR structure is a CR structure if in addition H(0;1)M is integrable as a complex subbundle of the complexied tangent bundle TCM: Let be a real one-form annihiliating H(1;0)M; it is determined up to multiplication by a nonva-nishing function. We choose the sign of such that the orientation determined by and the natural orientation for H(1;0)M agrees with the orientation for M. We dene the Levi form associated to to be the Hermitian form on H(1;0)M determined by L(Z; W) = id(Z; W) for all Z; W 2 H(1;0)M. If the Levi form is positive denite, then the CR structure is said to be strongly pseudoconvex. This condition is independent of the choice of (except for its sign). Remark 1 Let U be a smoothly bounded strongly pseudoconvex open set in a complex manifold X. Then the complex structure from X restricts to @U as a strongly pseudoconvex CR structure; the Levi form dened here is the same as the usual Levi form dened in complex analysis. A CR function on M is a function f: M! C such that Z(f) = 0 for every Z 2 H(0;1)M. These are the tangential Cauchy-Riemann equations. We denote this @bf = 0. One of the most basic questions in the study of CR manifolds is the following: Question 2 Given a strongly pseudoconvex CR manifold (M; H(1;0)M), is it embeddable? That is, does there exist a smooth embedding X: M,! CN such the the components of X are CR functions:
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,002 |
| Communication savante | 0,003 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,015 | 0,003 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».