Gröbner-Shirshov bases in some noncommutative algebras
Notice bibliographique
Résumé
Groebner-Shirshov bases, introduced independently by Shirshov in 1962 and Buchberger in 1965, are powerful computational tools in mathematics, science, engineering, and computer science. This thesis focuses on the theories, algorithms, and applications of Groebner-Shirshov bases for two classes of noncommutative algebras: differential difference algebras and skew solvable polynomial rings. This thesis consists of three manuscripts (Chapters 2--4), an introductory chapter (Chapter 1) and a concluding chapter (Chapter 5). In Chapter 1, we introduce the background and the goals of the thesis. In Chapter 2, we investigate the Gelfand-Kirillov dimension of differential difference algebras. We find lower and upper bounds of the Gelfand-Kirillov dimension of a differential difference algebra under some conditions. We also give examples to demonstrate that our bounds are sharp. In Chapter 3, we generalize the Groebner-Shirshov basis theory to differential difference algebras with respect to any left admissible ordering and develop the Groebner-Shirshov basis theory of finitely generated free modules over differential difference algebras. By using the theory we develop, we present an algorithm to compute the Gelfand-Kirillov dimensions of finitely generated modules over differential difference algebras. In Chapter 4, we first define skew solvable polynomial rings, which are generalizations of solvable polynomial algebras and (skew) PBW extensions. Then we present a signature-based algorithm for computing Groebner-Shirshov bases in skew solvable polynomial rings over fields. Our algorithm can detect redundant reductions and therefore it is more efficient than the traditional Buchberger algorithm. Finally, in Chapter 5, we summarize our results and propose possible future work.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,002 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».