A quadtree, a Steiner spanner, and approximate nearest neighbours in hyperbolic space
Notice bibliographique
Résumé
We propose a data structure for point sets in $d$-dimensional hyperbolic space that can be considered a natural counterpart to quadtrees in Euclidean spaces. Based on this data structure we propose a so-called L-order for hyperbolic point sets, which is an extension of the Z-order defined in Euclidean spaces.Using these quadtrees and the L-order we build geometric spanners. Near-linear size $(1+\varepsilon)$-spanners do not exist in hyperbolic spaces, but we create a Steiner spanner that achieves a spanning ratio of $1+\varepsilon$ with $\mathcal O_{d,\varepsilon}(n)$ edges, using a simple construction that can be maintained dynamically. As a corollary, we also get a $(2+\varepsilon)$-spanner (in the classical sense) of the same size, where the spanning ratio $2+\varepsilon$ is almost optimal among spanners of subquadratic size.Finally, we show that our Steiner spanner directly provides a solution to the approximate nearest neighbour problem: given a point set $P$ in $d$-dimensional hyperbolic space we build the data structure in $\mathcal O_{d,\varepsilon}(n\log n)$ time, using $\mathcal O_{d,\varepsilon}(n)$ space. Then for any query point $q$ we can find a point $p\in P$ that is at most $1+\varepsilon$ times farther from $q$ than its nearest neighbour in $P$ in $\mathcal O_{d,\varepsilon}(\log n)$ time. Moreover, the data structure is dynamic and can handle point insertions and deletions with update time $\mathcal O_{d,\varepsilon}(\log n)$. This is the first dynamic nearest neighbour data structure in hyperbolic space with proven efficiency guarantees.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».