Zeros of systems of exponential sums and trigonometric polynomials
Notice bibliographique
Résumé
Given a subanalytic subset V˜ of the real torus [special characters omitted] and a dense multidimensional trajectory on [special characters omitted], we prove the existence of the mean value of a bounded subanalytic function on V˜ over the isolated intersections of the set V˜ and the trajectory, and give an integral representation for the mean value. We apply this result to obtain an integral representation for the mean value of a quasiperiodic trigonometric polynomial T( x), x ∈ [special characters omitted], over the isolated points of a semitrigonometric set V ⊂ [special characters omitted] (a set described by quasiperiodic trigonometric polynomials). From this integral representation, we conclude that the mean value is equal to zero in the case when the frequencies of T(x) are not compatible with the frequencies of the quasiperiodic trigonometric polynomials that describe V. Next we apply our main result to the complex case, that is, to computing the mean value of an exponential sum over the zeros of a system of n exponential sums in [special characters omitted]. From the integral representation we obtain, we deduce a proof of a generalization of the Gelfond-Khovanskii formula [8] to the case of exponential sums with real frequencies when the frequencies of the sum are not compatible with the frequencies of the system. In the one-dimensional case we give a complete proof of the generalization of the Gelfond-Khovanskii formula to exponential sums with real frequencies. Our arguments represent a combination of real analytic geometry and ergodic theory. They are based on two theorems from completely different parts of mathematics: the cell-decomposition theorem for subanalytic sets, and Weyl's equidistribution law for multidimensional trajectories on the real torus. Weyl's equidistribution law for one-dimensional trajectories is a classical theorem which was published in 1916 [19]. The corresponding law for multidimensional trajectories seems to belong to mathematical folklore. Since we were unable to find a reference, we provide a proof of this theorem, which is a direct generalization of Weyl's original argument.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».